Considere o problema do passeio aleatório em uma dimensão, a probabilidade de um deslocamento entre s e s+\mathrm{d} s sendo
w(s) \mathrm{d} s=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2}}} \mathrm{e}^{-\frac{(s-l)^{2}}{2 \sigma^{2}}} \mathrm{~d} s
Depois de N passos. (a) Qual é o deslocamento médio \langle x\rangle da origem? (b) Qual é a dispersão \langle(x- \left.\langle x\rangle)^{2}\right\rangle ?
Passo 1
O enunciado dá a distribuição de probabilidade para o deslocamento de um único passo em uma dimensão:
Temos um passeio aleatório com N passos idênticos e indepedentes (cada passo tem a mesma distribuição acima). O enunciado pede:
(a) o deslocamento médio \langle x\rangle da origem após N passos;
(b) a dispersão \langle (x-\langle x\rangle)^{2}\rangle após N passos.
Passo 2
Definir e calcular a média de um único passo. A média (esperança) de s é
A integral padrão do segundo momento da gaussiana é 1, logo
\mathrm{Var}(s)=\sigma^{2}.
Resumo: cada passo tem média l e variância \sigma^{2}.
Passo 4
Representar o deslocamento total após N passos. Denote os passos por s_{1},s_{2},\dots,s_{N} (iid). O deslocamento total é
x=\sum_{i=1}^{N} s_{i}.
Usaremos duas propriedades fundamentais (que vale a pena saber para a prova):
linearidade da esperança: \langle\sum_{i}Y_{i}\rangle=\sum_{i}\langle Y_{i}\rangle;
aditividade da variância para variáveis independentes: \mathrm{Var}\!\left(\sum_{i}Y_{i}\right)=\sum_{i}\mathrm{Var}(Y_{i}) quando as Y_{i} são independentes (os termos de covariância são zero).
Passo 5
Calcular a média do deslocamento total usando linearidade:
Observação útil para prova: a raiz quadrada da variância, chamada desvio padrão de x, cresce como \sqrt{N}, isto é \sqrt{\mathrm{Var}(x)}=\sqrt{N}\,\sigma. Isso dá a escala típica do deslocamento aleatório em amplitude.
Resposta
\langle x\rangle = N l \langle (x-\langle x\rangle)^{2}\rangle = N \sigma^{2}