Considere o problema do passeio aleatório em uma dimensão, a probabilidade de um deslocamento entre s e s+\mathrm{d} s sendo
w(s) \mathrm{d} s=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2}}} \mathrm{e}^{-\frac{(s-l)^{2}}{2 \sigma^{2}}} \mathrm{~d} s
Depois de N passos. (a) Qual é o deslocamento médio \langle x\rangle da origem? (b) Qual é a dispersão \langle(x- \left.\langle x\rangle)^{2}\right\rangle ?

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de probabilidade para o deslocamento de um único passo em uma dimensão:
w(s)\,\mathrm{d}s=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\mathrm{e}^{-\frac{(s-l)^{2}}{2\sigma^{2}}}\,\mathrm{d}s.
Temos um passeio aleatório com N passos idênticos e indepedentes (cada passo tem a mesma distribuição acima). O enunciado pede:
(a) o deslocamento médio \langle x\rangle da origem após N passos;
(b) a dispersão \langle (x-\langle x\rangle)^{2}\rangle após N passos.

Passo 2

Definir e calcular a média de um único passo. A média (esperança) de s é
\langle s\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} s\,w(s)\,\mathrm{d}s.
Para avaliar essa integral faça a mudança de variável
u=\frac{s-l}{\sigma}\quad\Rightarrow\quad s=l+\sigma u,\quad \mathrm{d}s=\sigma\,\mathrm{d}u.
Substituindo na integral obtém-se
\langle s\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} (l+\sigma u)\,\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\mathrm{e}^{-u^{2}/2}\,\mathrm{d}u.
Essa integral separa em duas:
\langle s\rangle = l\underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\mathrm{e}^{-u^{2}/2}\,\mathrm{d}u}_{1} +\sigma\underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} u\,\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\mathrm{e}^{-u^{2}/2}\,\mathrm{d}u}_{0}.
A primeira integral é 1 (normalização da gaussiana padrão) e a segunda é 0 (função ímpar). Portanto
\langle s\rangle = l.
Interpretação breve: cada passo tem deslocamento médio l.

Passo 3

Calcular a variância (dispersão) de um único passo. A variância é
\mathrm{Var}(s)=\langle (s-\langle s\rangle)^{2}\rangle =\int_{-\infty}^{\infty} (s-l)^{2}\,w(s)\,\mathrm{d}s.
Usando novamente u=(s-l)/\sigma temos
\mathrm{Var}(s)=\int_{-\infty}^{\infty} \sigma^{2}u^{2}\,\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\mathrm{e}^{-u^{2}/2}\,\mathrm{d}u =\sigma^{2}\underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} u^{2}\,\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\mathrm{e}^{-u^{2}/2}\,\mathrm{d}u}_{1}.
A integral padrão do segundo momento da gaussiana é 1, logo
\mathrm{Var}(s)=\sigma^{2}.
Resumo: cada passo tem média l e variância \sigma^{2}.

Passo 4

Representar o deslocamento total após N passos. Denote os passos por s_{1},s_{2},\dots,s_{N} (iid). O deslocamento total é
x=\sum_{i=1}^{N} s_{i}.
Usaremos duas propriedades fundamentais (que vale a pena saber para a prova):
  • linearidade da esperança: \langle\sum_{i}Y_{i}\rangle=\sum_{i}\langle Y_{i}\rangle;
  • aditividade da variância para variáveis independentes: \mathrm{Var}\!\left(\sum_{i}Y_{i}\right)=\sum_{i}\mathrm{Var}(Y_{i}) quando as Y_{i} são independentes (os termos de covariância são zero).

Passo 5

Calcular a média do deslocamento total usando linearidade:
\langle x\rangle=\left\langle\sum_{i=1}^{N}s_{i}\right\rangle=\sum_{i=1}^{N}\langle s_{i}\rangle.
Como cada \langle s_{i}\rangle=l,
\langle x\rangle = N l.
Isso responde ao item (a).

Passo 6

Calcular a dispersão (variância) do deslocamento total. Usando aditividade da variância para variáveis independentes:
\mathrm{Var}(x)=\mathrm{Var}\!\left(\sum_{i=1}^{N}s_{i}\right)=\sum_{i=1}^{N}\mathrm{Var}(s_{i}).
Como cada \mathrm{Var}(s_{i})=\sigma^{2},
\mathrm{Var}(x)=N\sigma^{2}.
Observação útil para prova: a raiz quadrada da variância, chamada desvio padrão de x, cresce como \sqrt{N}, isto é \sqrt{\mathrm{Var}(x)}=\sqrt{N}\,\sigma. Isso dá a escala típica do deslocamento aleatório em amplitude.

Resposta

\langle x\rangle = N l
\langle (x-\langle x\rangle)^{2}\rangle = N \sigma^{2}

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