Numa pesquisa sobre rotatividade de mão de obra, para uma amostra de 40 pessoas foram observadas duas variáveis: número de empregos nos últimos dois anos (X) e salário mais recente, em número de salários mínimos (Y). Os resultados foram:
Indivíduo X Y Indivíduo X Y
1 1 6 21 2 4
2 3 2 22 3 2
3 2 4 23 4 1
4 3 1 24 1 5
5 2 4 25 2 4
6 2 1 26 3 2
7 3 3 27 4 1
8 1 5 28 1 5
9 2 2 29 4 4
10 3 2 30 3 3
11 2 5 31 2 2
12 3 2 32 1 1
13 1 6 33 4 1
14 2 6 34 2 6
15 3 2 35 4 2
16 4 2 36 3 1
17 1 5 37 1 4
18 2 5 38 3 2
19 2 1 39 2 3
20 2 1 40 2 5

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra de n=40 indivíduos com duas variáveis observadas: número de empregos nos últimos dois anos X e salário mais recente em salários mínimos Y. Peguei os pares (X,Y) diretamente da tabela do enunciado (usei todos os 40 pares).
O que vou responder e demonstrar passo a passo (perguntas que vou resolver a partir dos dados fornecidos):
  • Calcular as somas necessárias: \sum X, \sum Y, \sum X^2, \sum Y^2, \sum XY.
  • Calcular as médias amostrais \bar{X} e \bar{Y}.
  • Calcular os somatórios centrados \displaystyle S_{XX}=\sum (X_i-\bar X)^2, \displaystyle S_{YY}=\sum (Y_i-\bar Y)^2 e \displaystyle S_{XY}=\sum (X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y).
  • A partir disso, obter o coeficiente de correlação de Pearson r.
  • Determinar a reta de regressão linear dos mínimos quadrados de Y em função de X: \displaystyle \hat Y = b_0 + b_1 X, calculando b_1 e b_0.
  • Interpretar brevemente r e R^2.
Não foi pedida explicitamente uma outra tarefa (por ex. testar hipótese), então seguirei esse roteiro porque são as análises mais comuns para pares (X,Y).

Passo 2

Primeiro, calculamos as somas básicas a partir de todos os pares (X_i,Y_i) da tabela. Para cada observação computa-se X_i, Y_i, X_i^2, Y_i^2 e X_iY_i e soma-se tudo. Após somar as 40 observações obtém-se:
n = 40, \qquad \sum X = 95, \qquad \sum Y = 123,
\sum X^2 = 263, \qquad \sum Y^2 = 495, \qquad \sum XY = 253.
Explicando: por exemplo somei todos os X presentes na tabela e obtive \sum X=95; somei todos os Y e obtive \sum Y=123; somei todos os X^2 e Y^2 e os produtos X Y para obter os demais somatórios acima.

Passo 3

Agora as médias amostrais. A média aritmética de X e de Y são definidas por
\bar X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i,\qquad \bar Y = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i.
Substituindo os somatórios:
\bar X = \frac{95}{40} = 2,375, \qquad \bar Y = \frac{123}{40} = 3,075.
Interpretação rápida: em média, os indivíduos tiveram \,2{,}375 empregos nos últimos dois anos e um salário de \,3{,}075 salários mínimos.

Passo 4

Precisamos dos somatórios centrados (esses são os numeradores que aparecem em variância amostral, covariância e na regressão). Usamos as fórmulas equivalentes em termos dos somatórios já calculados:
S_{XX} = \sum_{i=1}^n (X_i-\bar X)^2 = \sum X_i^2 - n\bar X^{\,2},
S_{YY} = \sum_{i=1}^n (Y_i-\bar Y)^2 = \sum Y_i^2 - n\bar Y^{\,2},
S_{XY} = \sum_{i=1}^n (X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y) = \sum X_iY_i - n\bar X\bar Y.
Calculemos cada um:
Primeiro \bar X^{\,2} = (2,375)^2 = 5,640625 e \bar Y^{\,2} = (3,075)^2 = 9,455625.
Então
S_{XX} = 263 - 40\cdot 5{,}640625 = 263 - 225{,}625 = 37{,}375,
S_{YY} = 495 - 40\cdot 9{,}455625 = 495 - 378{,}225 = 116{,}775,
S_{XY} = 253 - 40\cdot(2{,}375\cdot 3{,}075).
Calculemos 2{,}375\cdot 3{,}075 = 7{,}303125, então
S_{XY} = 253 - 40\cdot 7{,}303125 = 253 - 292{,}125 = -39{,}125.
Breve interpretação: S_{XX} e S_{YY} são medidas de dispersão (proporcionais às variâncias amostrais) e S_{XY} é a soma dos produtos centrados (medida da covariância multiplicada por n-1 quando dividida).

Passo 5

Coeficiente de correlação de Pearson r. A fórmula é
r = \frac{S_{XY}}{\sqrt{S_{XX}\,S_{YY}}}.
Substituindo numéricos:
r = \frac{-39{,}125}{\sqrt{37{,}375\cdot 116{,}775}}.
Calcule o produto no denominador: 37{,}375\cdot 116{,}775 \approx 4\,364{,}465625. A raiz quadrada disso é aproximadamente 66{,}064. Assim
r \approx \frac{-39{,}125}{66{,}064} \approx -0{,}592.
Interpretação didática: r mede a intensidade e o sentido da associação linear entre X e Y. Aqui r\approx -0{,}592 indica uma correlação negativa moderada — conforme X aumenta, Y tende a diminuir, de forma moderada.

Passo 6

Reta de regressão de Y sobre X (mínimos quadrados). As fórmulas para os coeficientes são:
b_1 = \frac{S_{XY}}{S_{XX}},\qquad b_0 = \bar Y - b_1\bar X.
Calculando b_1:
b_1 = \frac{-39{,}125}{37{,}375} = -\frac{313}{299} \approx -1{,}046822742.
Observação útil: convertendo para frações inteiras saí -39{,}125 = -313/8 e 37{,}375 = 299/8, daí a razão -313/299 (às vezes vale a pena procurar frações exatas para cálculo manual).
Agora b_0:
b_0 = 3{,}075 - \big(-1{,}046822742\big)\cdot 2{,}375 \approx 3{,}075 + 2{,}48661 \approx 5{,}56161.
Arredondando para três casas decimais (usado comumente em provas):
b_1 \approx -1{,}047,\qquad b_0 \approx 5{,}562.
Portanto a reta de regressão é
\hat Y = 5{,}562 - 1{,}047\,X.
Interpretação prática: a cada aumento de uma unidade em X (mais um emprego nos últimos dois anos), o salário médio previsto diminui em cerca de 1{,}047 salários mínimos, segundo o ajuste linear.

Passo 7

Coeficiente de determinação R^2 e interpretação de qualidade do ajuste.
R^2 = r^2 \approx (-0{,}592)^2 \approx 0{,}3507 \quad\text{(ou seja, cerca de }35{,}1\%\text{)}.
Interpretação: cerca de 35{,}1\% da variabilidade total de Y é explicada pela variação linear em X segundo este modelo. O restante ( \approx 64{,}9\%) é variação não explicada pelo modelo linear (outros fatores, ruído, não-linearidade etc.).

Passo 8

Comentário sobre teste de significância (opcional, mas útil para prova). Para testar se há correlação linear significativa usa-se a estatística
t = r\sqrt{\frac{n-2}{1-r^2}},\qquad \text{com } n-2 \text{ graus de liberdade.}
Aqui n-2=38 e usando r\approx -0{,}592:
t \approx -0{,}592\sqrt{\frac{38}{1-0{,}3507}} \approx -4{,}53.
O valor absoluto |t|\approx 4{,}53 é grande; com df=38 isso corresponde a p-valor bem pequeno (<0,001), indicando que a correlação linear é estatisticamente significativa (ou seja, há evidência de associação linear entre X e Y).

Passo 9

Dicas práticas para a prova (curtas e aplicáveis):
  • Para somatórios use contas em bloco: some primeiro todos os X, depois todos os Y, depois calcule X^2, Y^2, XY linha a linha e some. Organize uma pequena tabela no caderno.
  • Use a fórmula em termos dos somatórios ( \sum X^2 - n\bar X^2) para evitar calcular X_i-\bar X para cada i quando a amostra é grande.
  • Sempre interprete o sinal de b_1 e o valor de R^2: sinal indica direção; magnitude de R^2 indica fração da variabilidade explicada.

Resposta

\bar X = 2{,}375
\bar Y = 3{,}075
r \approx -0{,}592
R^{2} \approx 0{,}3507
\displaystyle \hat Y = 5{,}562 - 1{,}047\,X

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