Numa pesquisa sobre rotatividade de mão de obra, para uma amostra de 40 pessoas foram observadas duas variáveis: número de empregos nos últimos dois anos
e salário mais recente, em número de salários mínimos
. Os resultados foram:
Indivíduo
X
Y
Indivíduo
X
Y
1
1
6
21
2
4
2
3
2
22
3
2
3
2
4
23
4
1
4
3
1
24
1
5
5
2
4
25
2
4
6
2
1
26
3
2
7
3
3
27
4
1
8
1
5
28
1
5
9
2
2
29
4
4
10
3
2
30
3
3
11
2
5
31
2
2
12
3
2
32
1
1
13
1
6
33
4
1
14
2
6
34
2
6
15
3
2
35
4
2
16
4
2
36
3
1
17
1
5
37
1
4
18
2
5
38
3
2
19
2
1
39
2
3
20
2
1
40
2
5
| Indivíduo | X | Y | Indivíduo | X | Y |
| 1 | 1 | 6 | 21 | 2 | 4 |
| 2 | 3 | 2 | 22 | 3 | 2 |
| 3 | 2 | 4 | 23 | 4 | 1 |
| 4 | 3 | 1 | 24 | 1 | 5 |
| 5 | 2 | 4 | 25 | 2 | 4 |
| 6 | 2 | 1 | 26 | 3 | 2 |
| 7 | 3 | 3 | 27 | 4 | 1 |
| 8 | 1 | 5 | 28 | 1 | 5 |
| 9 | 2 | 2 | 29 | 4 | 4 |
| 10 | 3 | 2 | 30 | 3 | 3 |
| 11 | 2 | 5 | 31 | 2 | 2 |
| 12 | 3 | 2 | 32 | 1 | 1 |
| 13 | 1 | 6 | 33 | 4 | 1 |
| 14 | 2 | 6 | 34 | 2 | 6 |
| 15 | 3 | 2 | 35 | 4 | 2 |
| 16 | 4 | 2 | 36 | 3 | 1 |
| 17 | 1 | 5 | 37 | 1 | 4 |
| 18 | 2 | 5 | 38 | 3 | 2 |
| 19 | 2 | 1 | 39 | 2 | 3 |
| 20 | 2 | 1 | 40 | 2 | 5 |
Passo 1
O enunciado fornece uma amostra de
indivíduos com duas variáveis observadas: número de empregos nos últimos dois anos
e salário mais recente em salários mínimos
. Peguei os pares
diretamente da tabela do enunciado (usei todos os 40 pares).
O que vou responder e demonstrar passo a passo (perguntas que vou resolver a partir dos dados fornecidos):
- Calcular as somas necessárias:
, , , , . - Calcular as médias amostrais
e . - Calcular os somatórios centrados
, e . - A partir disso, obter o coeficiente de correlação de Pearson
. - Determinar a reta de regressão linear dos mínimos quadrados de
em função de : , calculando e . - Interpretar brevemente
e .
Não foi pedida explicitamente uma outra tarefa (por ex. testar hipótese), então seguirei esse roteiro porque são as análises mais comuns para pares
.
Passo 2
Primeiro, calculamos as somas básicas a partir de todos os pares
da tabela. Para cada observação computa-se
,
,
,
e
e soma-se tudo. Após somar as 40 observações obtém-se:
Explicando: por exemplo somei todos os
presentes na tabela e obtive
; somei todos os
e obtive
; somei todos os
e
e os produtos
para obter os demais somatórios acima.
Passo 3
Agora as médias amostrais. A média aritmética de
e de
são definidas por
Substituindo os somatórios:
Interpretação rápida: em média, os indivíduos tiveram
empregos nos últimos dois anos e um salário de
salários mínimos.
Passo 4
Precisamos dos somatórios centrados (esses são os numeradores que aparecem em variância amostral, covariância e na regressão). Usamos as fórmulas equivalentes em termos dos somatórios já calculados:
Calculemos cada um:
Primeiro
e
.
Então
Calculemos
, então
Breve interpretação:
e
são medidas de dispersão (proporcionais às variâncias amostrais) e
é a soma dos produtos centrados (medida da covariância multiplicada por
quando dividida).
Passo 5
Coeficiente de correlação de Pearson
. A fórmula é
Substituindo numéricos:
Calcule o produto no denominador:
. A raiz quadrada disso é aproximadamente
. Assim
Interpretação didática:
mede a intensidade e o sentido da associação linear entre
e
. Aqui
indica uma correlação negativa moderada — conforme
aumenta,
tende a diminuir, de forma moderada.
Passo 6
Reta de regressão de
sobre
(mínimos quadrados). As fórmulas para os coeficientes são:
Calculando
:
Observação útil: convertendo para frações inteiras saí
e
, daí a razão
(às vezes vale a pena procurar frações exatas para cálculo manual).
Agora
:
Arredondando para três casas decimais (usado comumente em provas):
Portanto a reta de regressão é
Interpretação prática: a cada aumento de uma unidade em
(mais um emprego nos últimos dois anos), o salário médio previsto diminui em cerca de
salários mínimos, segundo o ajuste linear.
Passo 7
Coeficiente de determinação
e interpretação de qualidade do ajuste.
Interpretação: cerca de
da variabilidade total de
é explicada pela variação linear em
segundo este modelo. O restante (
) é variação não explicada pelo modelo linear (outros fatores, ruído, não-linearidade etc.).
Passo 8
Comentário sobre teste de significância (opcional, mas útil para prova). Para testar se há correlação linear significativa usa-se a estatística
Aqui
e usando
:
O valor absoluto
é grande; com
isso corresponde a p-valor bem pequeno (<0,001), indicando que a correlação linear é estatisticamente significativa (ou seja, há evidência de associação linear entre
e
).
Passo 9
Dicas práticas para a prova (curtas e aplicáveis):
- Para somatórios use contas em bloco: some primeiro todos os
, depois todos os , depois calcule , , linha a linha e some. Organize uma pequena tabela no caderno. - Use a fórmula em termos dos somatórios (
) para evitar calcular para cada i quando a amostra é grande. - Sempre interprete o sinal de
e o valor de : sinal indica direção; magnitude de indica fração da variabilidade explicada.