Demonstre que para a seguinte transformação
sigma cdot a^prime=S^dag>=r sigma cdot a S
onde
S=exp [-i sigma cdot n theta2]
sendo n um vetor unitário e theta um número real e S S^dag>=r=S^dag>=r S=1, o determinante de sigma cdot a fica invariante. Encontre ak^prime em função de ak. O que representa essa transformação?

Passo 1

Estamos lidando com a transformação unitária em SU(2) dada por
S=expl[-i,vecsigmacdothat n,theta2r]
que conjuga o operador vecsigmacdot a em
vecsigmacdot a' = S^dag>=r,(vecsigmacdot a),S
Precisamos mostrar que o determinante de vecsigmacdot a é invariante por conjugação unitária e encontrar explicitamente as componentes a'k em função de ak.

Passo 2

Usamos a propriedade geral de matrizes unitárias: para qualquer matriz A e unitária S, vale
detl(S^dag>=rASr)=det A
Assim,
det(vecsigmacdot a')=detl(S^dag>=r(vecsigmacdot a)Sr)=det(vecsigmacdot a)
Além disso, conhecemos o resultado
det(vecsigmacdot a)=- acdot a=-| a|^2
que de fato só depende do módulo de a, comprovando a invariância.

Passo 3

Para achar a'k, expandimos
S^dag>=r,sigmai,S
usando a série de Baker-Campbell-Hausdorff até ordens que envolvem os comutadores
[vecsigmacdothat n,,sigmai]=2i,epsilonijk,nj,sigmak
O resultado padrão é
S^dag>=r,sigmai,S = sigmaicostheta + (hat ntimesvecsigma)i,sintheta + ni,(hat ncdotvecsigma),(1-costheta)

Passo 4

Reconhecendo que podemos escrever
S^dag>=r,sigmai,S = Rij,sigmaj
onde
Rij = ni nj + (de
é a matriz de rotação de eixo hat n e ângulo theta em R^3.

Passo 5

Finalmente, comparando vecsigmacdot a' = sigmai a'i com
S^dag>=r(sigmaj aj)S = sigmai (Rijaj)
vemos que
a'i = Rij,aj
Ou seja, as componentes de a' são dadas pelas componentes de a rotacionadas por R.

Resposta

As componentes transformam-se segundo
a'i=Rij,aj,
com
Rij=ni nj+(de
Essa transformação é uma rotação do vetor a em torno do eixo unitário hat n por ângulo theta.

Exercícios relacionados