Demonstre que para a seguinte transformação
onde
sendo
um vetor unitário e
um número real e
, o determinante de
a fica invariante. Encontre
em função de
. O que representa essa transformação?
Passo 1
Estamos lidando com a transformação unitária em SU(2) dada por
que conjuga o operador
em
Precisamos mostrar que o determinante de
é invariante por conjugação unitária e encontrar explicitamente as componentes
em função de
.
Passo 2
Usamos a propriedade geral de matrizes unitárias: para qualquer matriz
e unitária
, vale
Assim,
Além disso, conhecemos o resultado
que de fato só depende do módulo de
, comprovando a invariância.
Passo 3
Para achar
, expandimos
usando a série de Baker-Campbell-Hausdorff até ordens que envolvem os comutadores
O resultado padrão é
Passo 4
Reconhecendo que podemos escrever
onde
é a matriz de rotação de eixo
e ângulo
em
.
Passo 5
Finalmente, comparando
com
vemos que
Ou seja, as componentes de
são dadas pelas componentes de
rotacionadas por
.
Resposta
As componentes transformam-se segundo
com
Essa transformação é uma rotação do vetor
em torno do eixo unitário
por ângulo
.