Cada uma das funções abaixo possui uma raiz isolada no intervalo I indicado. Aplique o método da bissecção para determinar um valor aproximado para o zero destas funções com erro inferior a 0,005 .
f(x)=\operatorname{sen}(5 x)-\cos (3 x), I=\left[0, \frac{1}{2}\right]

Passo 1

O enunciado pede a raiz de
f(x)=\sin(5x)-\cos(3x)
no intervalo I=[0,\tfrac12] usando o método da bissecção, com erro final abaixo de 0,005. Vamos usar o fato de que o método da bissecção reduz pela metade o comprimento do intervalo em cada iteração e garante que o zero permaneça num subintervalo onde f muda de sinal.

Passo 2

Verificamos inicialmente que
f(0)=\sin(0)-\cos(0)=-1<0,
f\bigl(\tfrac12\bigr)=\sin(2,5)-\cos(1,5)\approx0,5985-0,0707=0,5278>0.
Como f(0)\,f(\tfrac12)<0, existe ao menos uma raiz em [0,\tfrac12].

Passo 3

O erro ao usar n iterações e tomar como aproximação o ponto médio c_n do último intervalo satisfaz
\bigl|c_n-\alpha\bigr|\le\frac{b-a}{2^{n+1}}<0,005.
Aqui b-a=0,5, logo precisamos de n tal que
\frac{0,5}{2^{\,n+1}}<0,005 \quad\Longrightarrow\quad 2^{\,n+1}>100 \quad\Longrightarrow\quad n+1>\log_{2}(100)\approx6,64 \quad\Longrightarrow\quad n\ge6.

Passo 4

Aplicamos seis iterações da bissecção, definindo em cada passo
c_i=\frac{a_{i-1}+b_{i-1}}{2},
avaliando f(c_i) e escolhendo o subintervalo onde f muda de sinal. Os resultados são:
( 1) c_1=0,25, f(c_1)\approx+0,2173 \Rightarrow intervalo [0,0,25].
( 2) c_2=0,125, f(c_2)\approx-0,3454 \Rightarrow intervalo [0,125,0,25].
( 3) c_3=0,1875, f(c_3)\approx-0,0394 \Rightarrow intervalo [0,1875,0,25].
( 4) c_4=0,21875, f(c_4)\approx+0,0950 \Rightarrow intervalo [0,1875,0,21875].
( 5) c_5=0,203125, f(c_5)\approx+0,0299 \Rightarrow intervalo [0,1875,0,203125].
( 6) c_6=0,1953125, f(c_6)\approx-0,0044 \Rightarrow intervalo final \bigl[0,1953125,0,203125\bigr].

Passo 5

O intervalo final tem comprimento
0,203125-0,1953125=0,0078125<0,01,
logo o erro ao tomar o ponto médio
x^*=\frac{0,1953125+0,203125}{2}=0,19921875
é
\bigl|x^*-\alpha\bigr|\le\frac{0,0078125}{2}=0,00390625<0,005.

Resposta

A aproximação da raiz com erro inferior a 0,005 é
x\approx0,1992.

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