Considere o problema de Sturm-Liouville não-homogêneo,
\mathcal{L} y(x)=f(x),
com condições de contorno y(0)= finito e y(1)=0, onde \mathcal{L}=x^{2} \frac{d^{2}}{d x^{2}}+x \frac{d}{d x}-n^{2} é um operador diferencial auto-adjunto. A solução deste problema pode ser escrita como
y(x)=\int G(x, t) f(t) d t
sendo G(x, t) a função de Green que satisfaz
\mathcal{L} G(x, t)=\delta(x-t)
Determine G(x, t) quando n \neq 0.

Passo 1

O enunciado pede a função de Green G(x,t) para o operador
\mathcal{L} = x^{2}\frac{d^{2}}{dx^{2}} + x\frac{d}{dx} - n^{2}
no intervalo 0<x<1, com condições de contorno y(0) finito e y(1)=0. Para construir G, precisamos (i) achar as soluções fundamentais da equação homogênea \mathcal{L}y=0, (ii) montar G como combinação linear dessas soluções em cada região x<t e x>t, (iii) impor a condição de contorno e continuidade em x=t, e (iv) usar a condição de salto na derivada segunda para satisfazer \mathcal{L}G=\delta(x-t).

Passo 2

Primeiro encontramos as soluções da homogênea
x^{2}y'' + x y' - n^{2}y = 0.
Procurando y=x^{m}, obtemos
m(m-1)x^{m} + m x^{m} - n^{2}x^{m} = (m^{2}-n^{2})x^{m}=0
logo m=\pm n. Assim as soluções fundamentais são
y_{1}(x)=x^{n}, \quad y_{2}(x)=x^{-n}.

Passo 3

Para x<t, a exigência de finitude em x=0 impõe
G(x,t)=A(t)\,x^{n}.
Para x>t, a condição G(1,t)=0 obriga uma combinação das duas soluções:
G(x,t)=B(t)\,x^{-n} + C(t)\,x^{n}, \quad G(1,t)=0 \;\Rightarrow\; B(t)+C(t)=0 \;\Rightarrow\; G(x,t)=B(t)\bigl(x^{-n}-x^{n}\bigr).

Passo 4

Em x=t impomos:
1. Continuidade de G:
A(t)\,t^{n}=B(t)\bigl(t^{-n}-t^{n}\bigr).
2. Salto na derivada segunda conforme
\int_{t-\varepsilon}^{t+\varepsilon}\bigl[x^{2}G''+xG'\bigr]dx =1 \;\Longrightarrow\; \bigl[x^{2}G'\bigr]_{t^{-}}^{t^{+}}=1.
Calculando
x<t:\;x^{2}G'=A(t)\,n\,x^{n+1}, \quad x>t:\;x^{2}G'=-B(t)\,n\bigl(x^{-n+1}+x^{n+1}\bigr),
o salto é
-Bn\bigl(t^{-n+1}+t^{n+1}\bigr)\;-\;An\,t^{n+1}=1.
Substituindo A(t)=B(t)\bigl(t^{-2n}-1\bigr) e resolvendo para B(t)
B(t)=-\frac{1}{2n}\,t^{\,n-1}, \qquad A(t)=\frac{1}{2n}\bigl(t^{n-1}-t^{-n-1}\bigr).

Passo 5

Recolocando em cada regi~ao, obtemos
G(x,t)= \begin{cases} A(t)\,x^{n} =\dfrac{1}{2n}\bigl(t^{n-1}-t^{-n-1}\bigr)x^{n}, \\\ & x<t,\\[6pt] B(t)\bigl(x^{-n}-x^{n}\bigr) =-\dfrac{1}{2n}t^{\,n-1}\bigl(x^{-n}-x^{n}\bigr) =\dfrac{1}{2n}t^{\,n-1}\bigl(x^{n}-x^{-n}\bigr), & x>t. \end{cases}]

Resposta

G(x,t)= \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{2n}\bigl(t^{n-1}-t^{-n-1}\bigr)\,x^{n}, &x<t,\\[8pt] \displaystyle \frac{1}{2n}\,t^{\,n-1}\bigl(x^{n}-x^{-n}\bigr), &x>t. \end{cases}]

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