Considere o problema de Sturm-Liouville não-homogêneo,
com condições de contorno
finito e
, onde
é um operador diferencial auto-adjunto. A solução deste problema pode ser escrita como
sendo
a função de Green que satisfaz
Determine
quando
.
Passo 1
O enunciado pede a função de Green
para o operador
no intervalo
, com condições de contorno
finito e
. Para construir
, precisamos (i) achar as soluções fundamentais da equação homogênea
, (ii) montar
como combinação linear dessas soluções em cada região
e
, (iii) impor a condição de contorno e continuidade em
, e (iv) usar a condição de salto na derivada segunda para satisfazer
.
Passo 2
Primeiro encontramos as soluções da homogênea
Procurando
, obtemos
logo
. Assim as soluções fundamentais são
Passo 3
Para
, a exigência de finitude em
impõe
Para
, a condição
obriga uma combinação das duas soluções:
Passo 4
Em
impomos:
. Continuidade de
:
Calculando
o salto é
Substituindo
e resolvendo para
dá
Passo 5
Recolocando em cada regi~ao, obtemos