Dois capacitores de placas paralelas idênticos, de capacitância 100 \mu \mathrm{~F}, recebem cargas iguais de 100 \mu \mathrm{C} cada e são então removidos da fonte de carga. Os capacitores carregados são conectados por um fio entre suas placas positivas, e por outro fio entre suas placas negativas. (a) Qual é a energia armazenada do sistema?
Um dielétrico que tem uma constante dielétrica de \kappa=5 é inserido entre as placas de um dos capacitores, de modo que ele preencha completamente a região entre as placas. (b) Qual é a carga final em cada capacitor? (c) Qual é a energia armazenada final do sistema?

Passo 1

O enunciado descreve dois capacitores de placas paralelas idênticos com capacitância C=100\,\mu\mathrm F cada, carregados com Q=100\,\mu\mathrm C e então isolados da fonte. Eles são conectados em paralelo (positivos entre si e negativos entre si), o que implica em conservação da carga total e em que compartilham o mesmo potencial. Depois é inserido um dielétrico de constante \kappa=5 em um dos capacitores, alterando sua capacitância para \kappa C e provocando redistribuição de carga. Para resolver, vamos usar: conservação de carga, combinação de capacitores em paralelo e fórmulas de energia armazenada em capacitores ( U=Q^2/(2C) e U=\tfrac12CV^2).

Passo 2

Antes de inserir o dielétrico, cada capacitor guarda energia
U_i = \frac{Q^2}{2C} = \frac{(100\times10^{-6})^2}{2\times100\times10^{-6}} = 5\times10^{-5}\,\mathrm J.
Como há dois capacitores idênticos em paralelo, a energia total inicial é
U_{\mathrm{inicial}} = 2U_i = 1{,}0\times10^{-4}\,\mathrm J = 100\,\mu\mathrm J.

Passo 3

Ao inserir o dielétrico num dos capacitores sua capacitância torna-se
C_1 = \kappa C = 5 \times 100\,\mu\mathrm F = 500\,\mu\mathrm F,
enquanto o outro permanece com C_2=100\,\mu\mathrm F. Como as placas continuam conectadas em paralelo, o total de carga
Q_{\mathrm{tot}}=2Q=200\,\mu\mathrm C
se distribui entre eles com o mesmo potencial V:
C_{\mathrm{eq}}=C_1+C_2=600\,\mu\mathrm F, \qquad V=\frac{Q_{\mathrm{tot}}}{C_{\mathrm{eq}}}=\frac{200}{600}\,\mathrm V=\tfrac13\,\mathrm V.
Logo as cargas finais são
Q_1=C_1V=500\,\mu\mathrm F\times\tfrac13\,\mathrm V=166{,}7\,\mu\mathrm C,
Q_2=C_2V=100\,\mu\mathrm F\times\tfrac13\,\mathrm V=33{,}3\,\mu\mathrm C.

Passo 4

A energia armazenada no sistema após a redistribuição vale
U_{\mathrm{final}}=\frac12\,C_{\mathrm{eq}}\,V^2 =\frac12\times600\times10^{-6}\times\bigl(\tfrac13\bigr)^2 \approx3,33\times10^{-5}\,\mathrm J=33{,}3\,\mu\mathrm J.

Resposta

(a) U_{\mathrm{inicial}}=1{,}0\times10^{-4}\,\mathrm J ( 100\muJ).
(b) Q_1=166{,}7\,\mu\mathrm C no capacitor com dielétrico e Q_2=33{,}3\,\mu\mathrm C no outro.
(c) U_{\mathrm{final}}=3,33\times10^{-5}\,\mathrm J ( 33,3\muJ).

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