Considere um problema unidimensional onde uma conta de massa
(uma bolinha com um furo) é obrigada a se mover (sem a ação de nenhuma outra força) num anel de raio
. Utilize a quantização de Sommerfeld para determinar quais as velocidades (velocidade tangencial) que esta conta pode assumir.
Passo 1
O enunciado pede as possíveis velocidades tangenciais de uma massa
presa a um anel de raio
, sem nenhuma força externa além da restrição de estar no anel. O conteúdo é a quantização de Sommerfeld, que afirma para sistemas periódicos:
onde
é o momento canônico,
a coordenada generalizada,
e
a constante de Planck.
Passo 2
Aqui a coordenada generalizada é o comprimento de arco
no anel, que varia de
a
. O momento canônico é simplesmente o momento linear tangencial:
em que
é a velocidade tangencial.
Passo 3
Aplicamos a condição de quantização sobre um percurso completo no anel:
Como
é constante ao longo do anel livre, o integral vira
Passo 4
Igualando à condição de Sommerfeld, temos
Isolando
e usando
, obtemos
com
.
Resposta
As velocidades tangenciais possíveis são