Considere um problema unidimensional onde uma conta de massa m (uma bolinha com um furo) é obrigada a se mover (sem a ação de nenhuma outra força) num anel de raio R. Utilize a quantização de Sommerfeld para determinar quais as velocidades (velocidade tangencial) que esta conta pode assumir.

Passo 1

O enunciado pede as possíveis velocidades tangenciais de uma massa m presa a um anel de raio R, sem nenhuma força externa além da restrição de estar no anel. O conteúdo é a quantização de Sommerfeld, que afirma para sistemas periódicos:
oint p,dq = n,h,
onde p é o momento canônico, q a coordenada generalizada, ninZ e h a constante de Planck.

Passo 2

Aqui a coordenada generalizada é o comprimento de arco s no anel, que varia de 0 a 2pi R. O momento canônico é simplesmente o momento linear tangencial:
ps = m,v,
em que v é a velocidade tangencial.

Passo 3

Aplicamos a condição de quantização sobre um percurso completo no anel:
oint ps,ds = n,h
Como ps é constante ao longo do anel livre, o integral vira
oint ps,ds = ps times (2pi R) = 2pi R,m,v

Passo 4

Igualando à condição de Sommerfeld, temos
2pi R,m,vn = n,h
Isolando vn e usando h = 2pihbar, obtemos
vn = n,h2pi,m,R = n,hbarm,R,
com ninZ.

Resposta

As velocidades tangenciais possíveis são
vn = n,hbarm,R, ninZ

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