Num referencial S um objeto viaja no plano x, y com uma velocidade u=(2 / raiz5) c que faz um ângulo de 45^circ com o eixo x :
(a) Encontre as três componentes da velocidade ordinárias u e as quatro componentes do 4 -vetor velocidade própria eta.
(b) Este mesmo objeto é visto por um observador num referencial S^prime que se move com velocidade v=(2 / raiz5) c x. Encontre u prime e eta prime.

Passo 1

O enunciado pede para trabalharmos com velocidades em Relatividade Restrita. No referencial S um objeto move-se no plano xy com velocidade de módulo
u = 2raiz5,c
fazendo 45^circ com o eixo x.
(a) precisamos achar as três componentes de u em S e o 4-vetor velocidade própria
eta^mu = l(gamma c,;gamma,ur).
(b) em seguida, no referencial S' que se desloca em x com
v=(2/raiz5),c,hat x, aplicaremos as fórmulas de adição de velocidades e também transformaremos o 4-vetor por uma transformação de Lorentz.

Passo 2

No referencial S temos
ux = ucos45^circ = 2raiz5,c;1raiz2 =2raiz10,c, uy = 2raiz10,c, uz=0
Calculamos o fator de Lorentz associado a u:
betau^2 = u^2c^2 = 4/51 = 0.8, gammau = 1raiz1-betau^2 = 1raiz0.2 = raiz5

Passo 3

O 4-vetor velocidade própria em S é
eta^mu = (eta^0,eta^1,eta^2,eta^3) =(gammau,c,;gammau,ux,;gammau,uy,;0) =(raiz5,c,;raiz5,2raiz10,c,;raiz5,2raiz10,c,;0)
Simplificando
raiz5,2raiz10 = 2raiz5raiz10 = 2raiz2 = raiz2,
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eta^mu = l(raiz5,c,;raiz2,c,;raiz2,c,;0r)

Passo 4

No referencial S' que se move com v=v,hat x, v=(2/raiz5)c, as fórmulas de adição de velocidades são
u'x = ux - v1 - dfracux,vc^2, u'y = uygammavl(1 - dfracux,vc^2r), u'z=0,
com gammav = 1/raiz1-(v^2/c^2) = raiz5 e
ux,vc^2 =tfrac2raiz10,c;cdot;tfrac2raiz5,cc^2 =2raiz25

Passo 5

Substituindo nos numeradores e denominadores obtemos
1 - ux vc^2 = 1 - 2raiz25 = 5 - 2raiz25
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u'x = 2raiz10,c - 2raiz5,c 5-2raiz25 = raiz10-6raiz517,c approx -0.604,c,
u'y = 2raiz10,c raiz5,5-2raiz25 = 4 + 5raiz217,c approx 0.651,c,
u'z = 0

Passo 6

Para achar o 4-vetor transformado eta'^mu podemos usar a transformação de Lorentz direta sobre eta^mu em S. Em particular, no boost em x com beta=2/raiz5,
eta'^0 = gammavl(eta^0 - beta,eta^1r), eta'^1 = gammavl(eta^1 - beta,eta^0r), eta'^2 = eta^2, eta'^3=0
Substituindo eta^0=raiz5c, eta^1=raiz2c e beta=2/raiz5, gammav=raiz5, obtemos numericamente
eta'^0 approx 2.168,c, eta'^1 approx -1.313,c, eta'^2 = raiz2,c approx 1.414,c, eta'^3 = 0
Verifica-se que eta'^0 = gammau',c com gammau'=1/raiz1-(u'^2/c^2) e eta'^i = gammau',u'i.

Resposta

(a) Em S:
ux = 2raiz10,c, uy = 2raiz10,c, uz=0,
eta^mu = l(raiz5,c,;raiz2,c,;raiz2,c,;0r)
(b) Em S':
u'x = raiz10-6raiz517,capprox -0.604,c, u'y = 4 + 5raiz217,capprox 0.651,c, u'z = 0,
eta'^mu approx l(2.168,c,;-1.313,c,;1.414,c,;0r)

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