Num referencial
um objeto viaja no plano
com uma velocidade
que faz um ângulo de
com o eixo
:
(a) Encontre as três componentes da velocidade ordinárias u e as quatro componentes do 4 -vetor velocidade própria
.
(b) Este mesmo objeto é visto por um observador num referencial
que se move com velocidade
. Encontre
e
.
(a) Encontre as três componentes da velocidade ordinárias u e as quatro componentes do 4 -vetor velocidade própria
(b) Este mesmo objeto é visto por um observador num referencial
Passo 1
O enunciado pede para trabalharmos com velocidades em Relatividade Restrita. No referencial
um objeto move-se no plano
com velocidade de módulo
fazendo
com o eixo
.
(a) precisamos achar as três componentes de em
e o 4-vetor velocidade própria
.
(b) em seguida, no referencial que se desloca em
com
, aplicaremos as fórmulas de adição de velocidades e também transformaremos o 4-vetor por uma transformação de Lorentz.
(a) precisamos achar as três componentes de
(b) em seguida, no referencial
Passo 2
No referencial
temos
Calculamos o fator de Lorentz associado a
:
Passo 3
O 4-vetor velocidade própria em
é
Simplificando
logo
Passo 4
No referencial
que se move com
,
, as fórmulas de adição de velocidades são
com
e
Passo 5
Substituindo nos numeradores e denominadores obtemos
Logo
Passo 6
Para achar o 4-vetor transformado
podemos usar a transformação de Lorentz direta sobre
em
. Em particular, no boost em
com
,
Substituindo
,
e
,
, obtemos numericamente
Verifica-se que
com
e
.
Resposta
(a) Em
:
(b) Em
: