Considere o problema de valor inicial envolvendo a equação diferencial ordinária de primeira ordem em que a taxa de variação de uma quantidade é proporcional à esta quantidade:
com a condição inicial
(b) Usando a condição inicial, mostre que a solução deste Problema de valor inicial é a função exponencial
.
(b) Usando a condição inicial, mostre que a solução deste Problema de valor inicial é a função exponencial
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um problema de valor inicial com uma equação diferencial de primeira ordem:
. A condição inicial é
. Nosso objetivo aqui é, usando essa condição inicial, mostrar que a solução desse problema é a função exponencial
. Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e funções exponenciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial. Basicamente, ela relaciona uma função desconhecida
com suas derivadas. No nosso caso,
significa que a taxa de variação de
em relação ao tempo
é igual ao próprio
.
Passo 3
Para resolver essa equação, podemos separar as variáveis. Isso significa reorganizar a equação para ter todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro. Começamos dividindo ambos os lados por
:
Passo 4
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é
e a do lado direito é
, onde
é a constante de integração:
Passo 5
Para resolver para
, aplicamos a função exponencial em ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Aqui,
é apenas uma constante, que podemos chamar de
, então:
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de
. Sabemos que
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é
.