Considere o problema de valor inicial envolvendo a equação diferencial ordinária de primeira ordem em que a taxa de variação de uma quantidade é proporcional à esta quantidade: y^prime(t)=y(t) com a condição inicial y(0)=1
(b) Usando a condição inicial, mostre que a solução deste Problema de valor inicial é a função exponencial f(t)=e^t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um problema de valor inicial com uma equação diferencial de primeira ordem: . A condição inicial é . Nosso objetivo aqui é, usando essa condição inicial, mostrar que a solução desse problema é a função exponencial . Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e funções exponenciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial. Basicamente, ela relaciona uma função desconhecida com suas derivadas. No nosso caso, significa que a taxa de variação de em relação ao tempo é igual ao próprio .

Passo 3

Para resolver essa equação, podemos separar as variáveis. Isso significa reorganizar a equação para ter todos os termos com y^prime(t)y(t) = 1 de um lado e os termos com do outro. Começamos dividindo ambos os lados por :

Passo 4

Agora, integramos ambos os lados em relação a integral y^prime(t)y(t) , dt = integral 1 , dt :
ln|y(t)| = t + C
A integral do lado esquerdo é e a do lado direito é , onde é a constante de integração:

Passo 5

Para resolver para y(t) = e^t + C = e^C cdot e^t , aplicamos a função exponencial em ambos os lados para eliminar o logaritmo:
y(t) = K cdot e^t
Aqui, é apenas uma constante, que podemos chamar de , então:

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de 1 = K cdot e^0 Rightarrow 1 = K cdot 1 Rightarrow K = 1 . Sabemos que :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é .

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