Determine uma função
tal que
e use este fato para calcular a integral de linha
, onde
é fornecida.
(f)
.
(f)
Passo 1
A questão pede pra achar uma função escalar
tal que
e, depois, usar isso pra calcular a integral de linha
. O conteúdo é campo vetorial conservativo e Teorema Fundamental das Integrais de Linha; vamos precisar calcular o rotacional de
e, se for zero, encontrar o potencial, caso contrário integrar diretamente.
Passo 2
Vamos calcular o rotacional de
. Se
fosse conservativo, teríamos
.
O rotacional em coordenadas cartesianas é
O rotacional em coordenadas cartesianas é
Passo 3
Calculando cada componente:
logo a primeira componente é
, não zero em geral. Portanto
ou seja,
NÃO é conservativo e não existe potencial
global.
Passo 4
Como não podemos usar o Teorema Fundamental, parametrizamos e integramos diretamente. A curva é
Então
Passo 5
Substituindo em
:
O produto escalar
fica
Passo 6
Logo a integral de linha é