Determine uma função f tal que F=nabla f e use este fato para calcular a integral de linha integralC F cdot d r, onde C é fornecida.
(f) F(x, y, z)=y z e^x i+e^x j+x y e^x k, r(t)=lang<= t^2+1, t^2-1,2 trang<=, 0 <= t <= 2.

Passo 1

A questão pede pra achar uma função escalar f(x,y,z) tal que nabla f = F e, depois, usar isso pra calcular a integral de linha integralC Fcdot d r. O conteúdo é campo vetorial conservativo e Teorema Fundamental das Integrais de Linha; vamos precisar calcular o rotacional de F e, se for zero, encontrar o potencial, caso contrário integrar diretamente.

Passo 2

Vamos calcular o rotacional de F(x,y,z) = lang<= P,Q,Rrang<= = lang<= y z e^x,,e^x,,x y e^xrang<=. Se F fosse conservativo, teríamos nablatimes F=0.
O rotacional em coordenadas cartesianas é
nablatimes F = l(partial Rpartial y-partial Qpartial z,,partial Ppartial z-partial Rpartial x,,partial Qpartial x-partial Ppartial yr)

Passo 3

Calculando cada componente:
partial Rpartial y = partialpartial y(x y e^x)=x e^x,partial Qpartial z=partialpartial z(e^x)=0,
logo a primeira componente é x e^x, não zero em geral. Portanto
nablatimes Fneq0,
ou seja, F NÃO é conservativo e não existe potencial f global.

Passo 4

Como não podemos usar o Teorema Fundamental, parametrizamos e integramos diretamente. A curva é r(t)=lang<= t^2+1,,t^2-1,,2trang<=,;0<= t<=2 Então
d r = lang<= 2t,,2t,,2rang<= dt

Passo 5

Substituindo em F:
P= y z e^x = (t^2-1)(2t)e^t^2+1, Q = e^x = e^t^2+1, R = x y e^x = (t^2+1)(t^2-1)e^t^2+1
O produto escalar F( r(t))cdot r'(t) fica
e^t^2+1l[4t^2(t^2-1)+2t+2(t^4-1)r] = e^t^2+1l(6t^4 -4t^2 +2t -2r)

Passo 6

Logo a integral de linha é
integralC Fcdot d r = integral0^2 e^t^2+1l(6t^4 -4t^2 +2t -2r),dt

Resposta

integral0^2 e^t^2+1l(6t^4 -4t^2 +2t -2r),dt, pois F não é conservativo e não existe potencial global.

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