Inverta a ordem de integração.
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
. O conteúdo é troca de ordem em integrais duplas e vamos precisar caracterizar a região de integração
.
Passo 2
Para entender
, anotamos as fronteiras:
,
,
e
. Essas curvas formam um polígono no plano
.
Passo 3
Projetando
no eixo
, vemos que, quando
,
vai de
a
, e quando
,
. Logo o intervalo de
é de
até
.
Passo 4
Para um
fixo em
, as condições em
são
-
, -
, - de
vem , - de
vem .
Portantovaria de 0 até .
Passo 5
Agora identificamos qual é o mínimo em cada subintervalo de
:
- Para
: verifica-se que e , então o limite superior é . - Para
: verifica-se que e , então o limite superior é .
Isso leva a dividir eme .
Passo 6
Escrevendo a integral com a ordem trocada, somamos as duas partes: