Inverta a ordem de integração.
integral0^1 integraly-1^2-2 y f(x, y) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral integral0^1integraly-1^2-2y f(x,y),dx,dy. O conteúdo é troca de ordem em integrais duplas e vamos precisar caracterizar a região de integração R=(x,y)mid 0<= y<=1,;y-1<= x<=2-2y.

Passo 2

Para entender R, anotamos as fronteiras: y=0, y=1, x=y-1 e x=2-2y. Essas curvas formam um polígono no plano xy.

Passo 3

Projetando R no eixo x, vemos que, quando y=0, x vai de -1 a 2, e quando y=1, x=0. Logo o intervalo de x é de -1 até 2.

Passo 4

Para um x fixo em [-1,2], as condições em y são
  • y>=0,
  • y<=1,
  • de x>= y-1 vem y<= x+1,
  • de x<=2-2y vem y<=(2-x)/2.
    Portanto y varia de 0 até min1,,x+1,,(2-x)/2.

Passo 5

Agora identificamos qual é o mínimo em cada subintervalo de x:
  • Para x<=0: verifica-se que x+1<=1 e x+1<=(2-x)/2, então o limite superior é y=x+1.
  • Para x>=0: verifica-se que (2-x)/2<=1 e (2-x)/2<= x+1, então o limite superior é y=(2-x)/2.
    Isso leva a dividir em xin[-1,0] e xin[0,2].

Passo 6

Escrevendo a integral com a ordem trocada, somamos as duas partes:
integral-1^0integral0^x+1f(x,y),dy,dx +integral0^2integral0^2-x2f(x,y),dy,dx

Resposta

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