(b)) Encontre o seu intervalo de convergência e mostre o intervalo onde a série converge absolutamente.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa explorar a convergência da série
Especificamente, queremos encontrar o intervalo de convergência dessa série e também identificar onde ela converge absolutamente. Para resolver isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries, como o Teste da Razão e o Teste da Série Alternada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o intervalo de convergência usando o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.
O Teste da Razão diz que se
e:
Se limn to infty |x| cdot nn+1 = |x| cdot limn to infty nn+1 = |x| cdot 1 = |x| , a série converge absolutamente.
Se , a série diverge.
Se , o teste não é conclusivo.
Vamos aplicar isso na nossa série. Aqui, .
Calculando :
Agora, vamos calcular o limite quando :
Segundo o teste, para a série convergir absolutamente, precisamos que .
Passo 3
Agora, vamos identificar onde a série converge condicionalmente. Isso acontece quando a série converge, mas não converge absolutamente. Já vimos que para sumn=1^infty (-1)^n cdot 1^nn = sumn=1^infty (-1)^nn , a série converge absolutamente.