Explore a convergência da série:
sumn=1^infty (-1)^n x^nn
(b)) Encontre o seu intervalo de convergência e mostre o intervalo onde a série converge absolutamente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa explorar a convergência da série
sumn=1^infty (-1)^n x^nn
Especificamente, queremos encontrar o intervalo de convergência dessa série e também identificar onde ela converge absolutamente. Para resolver isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries, como o Teste da Razão e o Teste da Série Alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o intervalo de convergência usando o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de limn to infty | an+1an | = L a série converge.
O Teste da Razão diz que se
| an+1an | = | (-1)^n+1 x^n+1 / (n+1)(-1)^n x^n / n | = | -x^n+1 nx^n (n+1) | = | -x cdot nn+1 | = |x| cdot nn+1
e:
  • Se limn to infty |x| cdot nn+1 = |x| cdot limn to infty nn+1 = |x| cdot 1 = |x| , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste não é conclusivo.
Vamos aplicar isso na nossa série. Aqui, .
Calculando :
Agora, vamos calcular o limite quando :
Segundo o teste, para a série convergir absolutamente, precisamos que .

Passo 3

Agora, vamos identificar onde a série converge condicionalmente. Isso acontece quando a série converge, mas não converge absolutamente. Já vimos que para sumn=1^infty (-1)^n cdot 1^nn = sumn=1^infty (-1)^nn , a série converge absolutamente.
Para sumn=1^infty (-1)^n cdot (-1)^nn = sumn=1^infty 1n , precisamos verificar separadamente.
Vamos considerar :
Essa é a série alternada harmônica, que converge pelo Teste da Série Alternada (pois é decrescente e tende a zero).
Agora, para :
Essa é a série harmônica, que diverge.

Resposta

A série
sumn=1^infty (-1)^n x^nn
converge para todo no intervalo .
Além disso, a série converge absolutamente para .

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