Considere o problema de valor inicial:
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-2 x+1,
com condições iniciais \frac{d y}{d x}(0)=0 e y(0)=2. Assinale a alternativa correta.
Escolha uma opção:
A solução geral da equação diferencial é y=-x^{3}+x^{2}+C_{1} x+C_{2}.
Alterar a condição inicial para y(0)=5 afetaria o termo quadrático da solução.
A solução particular do PVI é y=-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+2 x+2.
Existe uma solução de equilíbrio estável em y=2.
Nenhuma das demais alternativas
A solução tende a -\infty quando x \rightarrow+\infty.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -2x + 1,
com
\frac{dy}{dx}(0)=0,\quad y(0)=2.
O conteúdo aqui é a resolução de uma equação diferencial de segunda ordem não-homogênea e depois a análise da solução quanto às alternativas propostas.

Passo 2

Integramos uma vez para obter y':
y' = \int(-2x+1)\,dx = -x^{2} + x + C_{1}.
Integramos de novo para achar a solução geral y:
y = \int(-x^{2} + x + C_{1})\,dx = -\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + C_{1}\,x + C_{2}.

Passo 3

Aplicamos as condições iniciais. De \frac{dy}{dx}(0)=0 segue
0 = -0^{2} + 0 + C_{1} \quad\Longrightarrow\quad C_{1}=0.
De y(0)=2 segue
2 = -0 + 0 + 0 + C_{2} \quad\Longrightarrow\quad C_{2}=2.
Logo, a solução particular é
y(x) = -\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + 2.

Passo 4

Para x\to+\infty o termo dominante em y(x) é -\tfrac{x^{3}}{3}, que tende a -\infty. Portanto
\lim_{x\to+\infty} y(x) = -\infty.

Passo 5

Comparando com as alternativas:
  • A solução geral apresentada em A está errada (é -\tfrac{x^{3}}{3}+\tfrac{x^{2}}{2}+\dots, não -x^{3}+x^{2}+\dots).
  • Alterar y(0) muda apenas C_{2}, não o termo em x^{2}.
  • A alternativa C dá -\tfrac{x^{3}}{3}+\tfrac{x^{2}}{2}+2x+2, mas nosso coeficiente de x é zero.
  • Não se trata de um sistema autônomo com equilíbrio em y=2.
  • Restam A–D falsas, e a afirmativa sobre y\to -\infty é verdadeira.

Resposta

A solução tende a -\infty quando x\rightarrow+\infty.

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