Considere o problema de valor inicial:
,
com condições iniciais
e
. Assinale a alternativa correta.
Escolha uma opção:
A solução geral da equação diferencial é
.
Alterar a condição inicial para
afetaria o termo quadrático da solução.
A solução particular do PVI é
.
Existe uma solução de equilíbrio estável em
.
Nenhuma das demais alternativas
A solução tende a
quando
.
com condições iniciais
A solução geral da equação diferencial é
Alterar a condição inicial para
A solução particular do PVI é
Existe uma solução de equilíbrio estável em
Nenhuma das demais alternativas
A solução tende a
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
com
O conteúdo aqui é a resolução de uma equação diferencial de segunda ordem não-homogênea e depois a análise da solução quanto às alternativas propostas.
Passo 2
Integramos uma vez para obter
:
Integramos de novo para achar a solução geral
:
Passo 3
Aplicamos as condições iniciais. De
segue
De
segue
Logo, a solução particular é
Passo 4
Para
o termo dominante em
é
, que tende a
. Portanto
Passo 5
Comparando com as alternativas:
- A solução geral apresentada em A está errada (é
, não ). - Alterar
muda apenas , não o termo em . - A alternativa C dá
, mas nosso coeficiente de é zero. - Não se trata de um sistema autônomo com equilíbrio em
. - Restam A–D falsas, e a afirmativa sobre
é verdadeira.
Resposta
A solução tende a
quando
.