Considere a função
f(x)=x^{3}-x-2 .
Utilize o método de newton para encontrar uma aproximação da raiz a partir da aproximação inicial x_{0}=1,5 com erro relativo aproximado menor que 0,001 .

Passo 1

O enunciado pede para usar o método de Newton para aproximar a raiz da função
f(x)=x^{3}-x-2
a partir de x_{0}=1,5, até que o erro relativo aproximado seja menor que 0,001. Vamos precisar da derivada f'(x) e da fórmula de iteração
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}\,.

Passo 2

Calculemos primeiro a derivada:
f'(x)=3x^{2}-1.
A fórmula de Newton fica
x_{n+1}=x_{n}-\frac{x_{n}^{3}-x_{n}-2}{3x_{n}^{2}-1}.

Passo 3

Iteração 1 com x_{0}=1,5:
f(1,5)=(1,5)^{3}-1,5-2=3,375-1,5-2=-0,125,
f'(1,5)=3\cdot(1,5)^{2}-1=3\cdot2,25-1=5,75,
x_{1}=1,5-\frac{-0,125}{5,75}=1,5+0,021739\approx1,521739.
O erro relativo aproximado é
E_{1}=\left|\frac{x_{1}-x_{0}}{x_{1}}\right| =\frac{0,021739}{1,521739}\approx0,0143>0,001,
logo ainda não atingiu o critério.

Passo 4

Iteração 2 com x_{1}\approx1,521739:
f(1,521739)=(1,521739)^{3}-1,521739-2\approx0,00366,
f'(1,521739)=3\cdot(1,521739)^{2}-1\approx5,950082,
x_{2}=1,521739-\frac{0,00366}{5,950082}\approx1,521124.
O erro relativo aproximado agora é
E_{2}=\left|\frac{x_{2}-x_{1}}{x_{2}}\right| =\frac{0,000615}{1,521124}\approx0,000404<0,001,
portanto satisfaz o critério de parada.

Resposta

A aproximação da raiz com erro relativo menor que 0,001 é
x\approx1,521124.

Exercícios relacionados