(a) Defina a integral que fornece a área da região sombreada.
(b) Encontre a área calculando a integral.
(b) Encontre a área calculando a integral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede duas coisas: primeiro, definir uma integral que representa a área de uma região sombreada, e segundo, calcular essa área usando a integral. A matéria envolvida aqui é o Cálculo Integral, especificamente o uso de integrais para encontrar áreas entre curvas. Para resolver isso, vamos precisar entender as funções que delimitam a região sombreada e os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar quais são as curvas que delimitam a região sombreada. Suponha que temos duas funções, $ f(x) $ e $ g(x) $, onde $ f(x) $ está acima de $ g(x) $ no intervalo que estamos considerando. A área entre essas duas curvas no intervalo de $ a $ a $ b $ é dada pela integral de $ f(x) - g(x) $ de $ a $ a $ b $.
Passo 3
Então, a integral que define a área da região sombreada é:
Passo 4
Para encontrar a área, basta calcular essa integral. Vamos integrar $ f(x) $ e $ g(x) $ separadamente entre os limites $ a $ e $ b $, e depois subtrair os resultados:
Resposta
A área da região sombreada é: