Considere o problema de valor inicial
l y^prime prime+4 y^prime+3 y=0 y(0)=alpha y^prime(0)=-1
Determine o valor de alpha para o qual a solução tenda a zero quando t infty.

Passo 1

Neste exercício, vamos resolver uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Precisamos encontrar o valor de alpha que faz com que a solução da equação tenda a zero quando t vai para o infinito. Para isso, vamos usar técnicas de equações diferenciais com coeficientes constantes e aplicar as condições iniciais para determinar os parâmetros da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea dada:
y'' + 4y' + 3y = 0
Para resolver essa equação, começamos encontrando a equação característica associada:
r^2 + 4r + 3 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática para r:
r = -4 pm raiz4^2 - 4 cdot 1 cdot 32 = -4 pm raiz16 - 122 = -4 pm 22
Então, as raízes são:
r1 = -1 e r2 = -3

Passo 4

Com as raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^-t + C2 e^-3t
Aqui, C1 e C2 são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais fornecidas.

Passo 5

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar C1 e C2.
A primeira condição é y(0) = alpha:
y(0) = C1 e^0 + C2 e^0 = C1 + C2 = alpha
A segunda condição é y'(0) = -1. Primeiro, calculamos a derivada de y(t):
y'(t) = -C1 e^-t - 3C2 e^-3t
Então, em t = 0:
y'(0) = -C1 - 3C2 = -1

Passo 6

Agora, temos um sistema de equações:
C1 + C2 = alpha -C1 - 3C2 = -1
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, somamos as duas equações:
(C1 + C2) + (-C1 - 3C2) = alpha - 1 -2C2 = alpha - 1 C2 = 1 - alpha2
Substituindo C2 na primeira equação:
C1 + 1 - alpha2 = alpha C1 = alpha - 1 - alpha2 = 2alpha - (1 - alpha)2 = 3alpha - 12

Passo 7

Agora, substituímos C1 e C2 na solução geral:
y(t) = 3alpha - 12 e^-t + 1 - alpha2 e^-3t

Passo 8

Para que a solução tenda a zero quando t infty, observamos os termos da solução:
  • e^-t tende a 0 conforme t aumenta.
  • e^-3t também tende a 0 ainda mais rapidamente.
Isso significa que, independentemente dos valores de C1 e C2, desde que sejam finitos, a solução y(t) sempre tende a zero quando t vai para o infinito.

Resposta

O valor de alpha pode ser qualquer número real. Ou seja, para qualquer valor de alpha, a solução tende a zero quando t infty.

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