Determine o valor de alpha para o qual a solução tenda a zero quando t infty.
Passo 1
Neste exercício, vamos resolver uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Precisamos encontrar o valor de alpha que faz com que a solução da equação tenda a zero quando t vai para o infinito. Para isso, vamos usar técnicas de equações diferenciais com coeficientes constantes e aplicar as condições iniciais para determinar os parâmetros da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea dada:
y'' + 4y' + 3y = 0
Para resolver essa equação, começamos encontrando a equação característica associada:
Para que a solução tenda a zero quando t infty, observamos os termos da solução:
e^-t tende a 0 conforme t aumenta.
e^-3t também tende a 0 ainda mais rapidamente.
Isso significa que, independentemente dos valores de C1 e C2, desde que sejam finitos, a solução y(t) sempre tende a zero quando t vai para o infinito.
Resposta
O valor de alpha pode ser qualquer número real. Ou seja, para qualquer valor de alpha, a solução tende a zero quando t infty.