Dada: f(x, y)=5 x y^2-3 x^2 y^3, Obtenha:
As derivadas parciais

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem a função $ f(x, y) = 5xy^{2} - 3x{2}y{3} $ e precisa encontrar as derivadas parciais dessa função. Isso significa que vamos calcular como a função muda em relação a $ x $ e em relação a $ y $ separadamente. Para isso, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e como aplicá-las em funções de mais de uma variável.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Quando fazemos isso, tratamos $ y $ como uma constante. Então, vamos derivar cada termo da função em relação a $ x $:
  • Para o primeiro termo $ 5xy^{2} $, a derivada em relação a $ x $ é $ 5y^{2} $, porque a derivada de $ x $ em relação a $ x $ é 1, e $ y^{2} $ é tratado como uma constante.
  • Para o segundo termo $ -3x{2}y{3} $, a derivada em relação a $ x $ é $ -6xy^{3} $, já que a derivada de $ x^{2} $ em relação a $ x $ é $ 2x $, multiplicando pelo coeficiente $ -3 $ dá $ -6x $ e $ y^{3} $ permanece como está.
Então, juntando tudo:
f

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Dessa vez, tratamos $ x $ como uma constante. Vamos derivar cada termo da função em relação a $ y $:
  • Para o primeiro termo $ 5xy^{2} $, a derivada em relação a $ y $ é $ 10xy $, porque a derivada de $ y^{2} $ em relação a $ y $ é $ 2y $, multiplicando pelo coeficiente $ 5x $ dá $ 10xy $.
  • Para o segundo termo $ -3x{2}y{3} $, a derivada em relação a $ y $ é $ -9x{2}y{2} $, já que a derivada de $ y^{3} $ em relação a $ y $ é $ 3y^{2} $, multiplicando pelo coeficiente $ -3x^{2} $ dá $ -9x{2}y{2} $.
Então, juntando tudo:
f

Resposta

As derivadas parciais da função são:
partial fpartial x = 5y^2 - 6xy^3
e
partial fpartial y = 10xy - 9x^2y^2

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