Determine o limite, se existir:
a. Não existe o limite
b. 0
c. 3
d.
e. 2
b. 0
c. 3
d.
e. 2
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o limite da função
quando
se aproxima de
. Esse tipo de problema está no conteúdo de limites multivariáveis, onde analisamos o comportamento da função quando as variáveis se aproximam de certos valores. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão e verificar se o limite existe ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração:
. Sabemos que quando tentamos dividir por algo que se aproxima de zero, podemos ter problemas, então precisamos simplificar a expressão para ver se conseguimos cancelar esse denominador.
Passo 3
Agora, vamos focar no numerador:
. Podemos tentar reescrever essa expressão para facilitar a simplificação com o denominador. Observamos que temos termos lineares
e termos com raízes
e
.
Passo 4
Vamos reorganizar o numerador agrupando os termos com
e
:
Agora, temos uma expressão que nos permite fatorar.
Passo 5
Observamos que
é um fator comum no numerador e no denominador. Vamos fatorar isso no numerador:
Aqui, usamos a identidade
para reescrever
.
Passo 6
Agora, podemos fatorar
como fator comum:
Isso simplifica o numerador para uma expressão com
multiplicando outra coisa.
Passo 7
Então, nossa fração original fica:
Agora, podemos ver que
aparece tanto no numerador quanto no denominador.
Passo 8
Podemos cancelar
nos dois lados, desde que
:
Agora, a expressão está muito mais simples!
Passo 9
Agora, podemos calcular o limite facilmente substituindo
e
:
Resposta
A resposta correta é e.