Determine o limite, se existir:
lim (x, y) longrightarrow(0,0) x-y+2 raizx-2 raizyraizx-raizy
a. Não existe o limite
b. 0
c. 3
d. infty
e. 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o limite da função x - y + 2 raizx - 2 raizyraizx - raizy quando (x, y) se aproxima de (0,0). Esse tipo de problema está no conteúdo de limites multivariáveis, onde analisamos o comportamento da função quando as variáveis se aproximam de certos valores. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão e verificar se o limite existe ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração: raizx - raizy. Sabemos que quando tentamos dividir por algo que se aproxima de zero, podemos ter problemas, então precisamos simplificar a expressão para ver se conseguimos cancelar esse denominador.

Passo 3

Agora, vamos focar no numerador: x - y + 2 raizx - 2 raizy. Podemos tentar reescrever essa expressão para facilitar a simplificação com o denominador. Observamos que temos termos lineares x - y e termos com raízes raizx e raizy.

Passo 4

Vamos reorganizar o numerador agrupando os termos com raizx e raizy:
x - y + 2 (raizx - raizy)
Agora, temos uma expressão que nos permite fatorar.

Passo 5

Observamos que raizx - raizy é um fator comum no numerador e no denominador. Vamos fatorar isso no numerador:
(raizx - raizy)(raizx + raizy) + 2 (raizx - raizy)
Aqui, usamos a identidade a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) para reescrever x - y.

Passo 6

Agora, podemos fatorar raizx - raizy como fator comum:
(raizx - raizy) ( (raizx + raizy) + 2 )
Isso simplifica o numerador para uma expressão com raizx - raizy multiplicando outra coisa.

Passo 7

Então, nossa fração original fica:
(raizx - raizy) ( raizx + raizy + 2 )raizx - raizy
Agora, podemos ver que raizx - raizy aparece tanto no numerador quanto no denominador.

Passo 8

Podemos cancelar raizx - raizy nos dois lados, desde que raizx neq raizy:
raizx + raizy + 2
Agora, a expressão está muito mais simples!

Passo 9

Agora, podemos calcular o limite facilmente substituindo x = 0 e y = 0:
raiz0 + raiz0 + 2 = 0 + 0 + 2 = 2

Resposta

A resposta correta é e. 2

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