Suponha que o PVI de segunda ordem
seja usado para definir o seno hiperbólico.
(iii) Mostre que qualquer solução
do sistema obtido no item anterior jaz sobre alguma hipérbola
.
(iii) Mostre que qualquer solução
Passo 1
A questão nos diz que, a partir do PVI de segunda ordem
, no item anterior chegamos a um sistema de primeira ordem. O conteúdo principal aqui é perceber que certas combinações de
e
podem ser invariantes do tempo, ou seja, derivada zero.
Passo 2
Para começar, definimos
e
. Assim, derivando:
Passo 3
O truque clássico é verificar a derivada de
. Calculamos:
Passo 4
Como a derivada de
é zero, concluímos que essa combinação é constante ao longo de qualquer solução. Ou seja, existe uma constante real
tal que
Resposta
A combinação
é um invariante do sistema, logo toda solução fica sobre a hipérbola
, com
.