Suponha que o PVI de segunda ordem
l ddottheta=theta theta(0)=0, dottheta(0)=1
seja usado para definir o seno hiperbólico.
(iii) Mostre que qualquer solução x(t), y(t) do sistema obtido no item anterior jaz sobre alguma hipérbola x^2-y^2=C, C in R.

Passo 1

A questão nos diz que, a partir do PVI de segunda ordem ddottheta=theta,;theta(0)=0,;dottheta(0)=1, no item anterior chegamos a um sistema de primeira ordem. O conteúdo principal aqui é perceber que certas combinações de x e y podem ser invariantes do tempo, ou seja, derivada zero.

Passo 2

Para começar, definimos x(t)=theta(t) e y(t)=dottheta(t). Assim, derivando:
x'=dottheta=y, y'=ddottheta=theta=x

Passo 3

O truque clássico é verificar a derivada de x^2-y^2. Calculamos:
ddtl(x^2-y^2r)=2x,x'-2y,y'=2x,y-2y,x=0

Passo 4

Como a derivada de x^2-y^2 é zero, concluímos que essa combinação é constante ao longo de qualquer solução. Ou seja, existe uma constante real C tal que
x^2(t)-y^2(t)=Cpara todo t

Resposta

A combinação x^2-y^2 é um invariante do sistema, logo toda solução fica sobre a hipérbola x^2-y^2=C, com CinR.

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