Considere o problema de valor inicial
(a) Resolva esse PVI.
(b) Por que esse PVI admite uma única solução?
(c) Determine as coordenadas do ponto máximo da solução.
(b) Por que esse PVI admite uma única solução?
(c) Determine as coordenadas do ponto máximo da solução.
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
que é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos (i) achar a solução geral via equação característica, (ii) impor as condições iniciais, (iii) justificar a unicidade e (iv) localizar o ponto de máximo de
.
Passo 2
A equação característica associada a
tem discriminante
, logo há raiz dupla
Portanto, a solução geral é
Passo 3
Impondo
obtemos
. Em seguida, calculamos
e em
deve valer
, o que dá
. Assim a solução do PVI é
Passo 4
Esse PVI admite solução única porque se trata de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes contínuos em todo
. Pelo teorema de existência e unicidade (Picard–Lindel"of) para ODEs lineares, a solução que satisfaz as condições iniciais é única.
Passo 5
Para achar o máximo, analisamos
. Igualando a zero:
Nesse ponto,
Uma verificação de
confirma que é um máximo.
Resposta
(a)
(b) Porque é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes contínuos, logo satisfaz as hipóteses do teorema de existência e unicidade de soluções para ODEs.
(c) O máximo ocorre em .
(b) Porque é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes contínuos, logo satisfaz as hipóteses do teorema de existência e unicidade de soluções para ODEs.
(c) O máximo ocorre em