Considere o problema de valor inicial
l 4 y^prime prime+4 y^prime+y=0 y(0)=0, y^prime(0)=2
(a) Resolva esse PVI.
(b) Por que esse PVI admite uma única solução?
(c) Determine as coordenadas do ponto máximo da solução.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
4,y''+4,y'+y=0, y(0)=0,;y'(0)=2,
que é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos (i) achar a solução geral via equação característica, (ii) impor as condições iniciais, (iii) justificar a unicidade e (iv) localizar o ponto de máximo de y(x).

Passo 2

A equação característica associada a
4,r^2+4,r+1=0
tem discriminante De<a=4^2-4cdot4cdot1=0, logo há raiz dupla
r=-42cdot4=-tfrac12
Portanto, a solução geral é
y(x)=l(C1+C2,xr)e^-x/2

Passo 3

Impondo y(0)=0 obtemos C1=0. Em seguida, calculamos
y'(x) =ddxl(C2,x e^-x/2r) =C2,e^-x/2l(1-tfracx2r),
e em x=0 deve valer y'(0)=2, o que dá C2=2. Assim a solução do PVI é
y(x)=2,x,e^-x/2

Passo 4

Esse PVI admite solução única porque se trata de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes contínuos em todo R. Pelo teorema de existência e unicidade (Picard–Lindel"of) para ODEs lineares, a solução que satisfaz as condições iniciais é única.

Passo 5

Para achar o máximo, analisamos y'(x)=2,e^-x/2(1-tfracx2). Igualando a zero:
1-tfracx2=0 Longrightarrow x=2
Nesse ponto,
y(2)=2cdot2,e^-2/2=4,e^-1
Uma verificação de y''(2)<0 confirma que é um máximo.

Resposta

(a) y(x)=2,x,e^-x/2
(b) Porque é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes contínuos, logo satisfaz as hipóteses do teorema de existência e unicidade de soluções para ODEs.
(c) O máximo ocorre em l(2,4e^-1r).

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