Julgue os itens a seguir em verdadeiro (V) ou falso (F), justificando sua resposta.
(a) A equação diferencial y^prime prime-4 x y^prime+5 y=cos (y) é ordinária, linear e de ordem 2.
(b) O fator integrante da edo x y^prime=2 y é mu(x)=x.
(c) A equação d yd x=3 x yx^2-y^2 é uma EDO homogênea de grau 2 .
(d) y1(x)=2 e^2 x e y2(x)=e^-2 x não formam um conjunto fundamental de soluçōes para a EDO y^prime prime-4 y=0 em I=R.
(e) A solução geral da edo y^prime prime+4 y=0 é y(x)=c1 cos (2 x)+c2 sen(2 x), c1, c2 in R.

Passo 1

O enunciado pede para julgar cinco afirmações sobre equações diferenciais ordinárias (EDO): classificação (ordem, linearidade), fator integrante, homogeneidade, conjunto fundamental de soluções e solução geral de EDO com coeficientes constantes. Vamos analisar item a item.

Passo 2

Item (a): y'' -4x,y' +5y = cos(y). É uma EDO ordinária (depende de uma só variável independente) e de segunda ordem (aparece y''). Porém, o termo cos(y) torna a equação não linear (não vale o princípio da superposição). Logo, a afirmação “ordinária, linear e de ordem 2” é falsa.

Passo 3

Item (b): x,y' = 2y. Escrevendo em forma linear padrão
y' - 2xy = 0,
o fator integrante é
mu(x) = expl(integral -tfrac2x,dxr) = exp(-2ln|x|)=x^-2,
e não mu(x)=x. Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 4

Item (c): dydx = 3xyx^2 - y^2. A função do lado direito é
f(x,y)=3x yx^2-y^2,
que satisfaz f(lambda x,lambda y)=f(x,y), logo é homogênea. Mas f é homogênea de grau 0 (grau do numerador menos grau do denominador), não de grau 2. A afirmação “EDO homogênea de grau 2” é falsa.

Passo 5

Item (d): A EDO y''-4y=0 tem equação característica r^2-4=0 com raízes pm2, de onde as soluções básicas são e^2x e e^-2x. O par 2e^2x,,e^-2x difere de e^2x,,e^-2x apenas por um fator constante em uma solução, portanto é linearmente independente. Seu Wronskiano é
W= 2e^2x & e^-2x 4e^2x & -2e^-2x =-8neq0,
logo formam conjunto fundamental. A afirmação que “não formam” é falsa.

Passo 6

Item (e): A EDO y''+4y=0 tem equação característica r^2+4=0 com raízes pm2i. Daí a solução geral
y(x)=c1cos(2x)+c2sin(2x), c1,c2inR,
exatamente como dado. A afirmação é verdadeira.

Resposta

(a) F
(b) F
(c) F
(d) F
(e) V

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