Julgue os itens a seguir em verdadeiro (V) ou falso (F), justificando sua resposta.
(a) A equação diferencial é ordinária, linear e de ordem 2.
(b) O fator integrante da edo é .
(c) A equação é uma EDO homogênea de grau 2 .
(d) e não formam um conjunto fundamental de soluçōes para a EDO .
(e) A solução geral da edo é .
Passo 1
O enunciado pede para julgar cinco afirmações sobre equações diferenciais ordinárias (EDO): classificação (ordem, linearidade), fator integrante, homogeneidade, conjunto fundamental de soluções e solução geral de EDO com coeficientes constantes. Vamos analisar item a item.
Passo 2
Item (a): . É uma EDO ordinária (depende de uma só variável independente) e de segunda ordem (aparece ). Porém, o termo torna a equação não linear (não vale o princípio da superposição). Logo, a afirmação “ordinária, linear e de ordem 2” é falsa.
Passo 3
Item (b): . Escrevendo em forma linear padrão
o fator integrante é
e não . Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 4
Item (c): . A função do lado direito é
que satisfaz , logo é homogênea. Mas é homogênea de grau (grau do numerador menos grau do denominador), não de grau . A afirmação “EDO homogênea de grau 2” é falsa.
Passo 5
Item (d): A EDO tem equação característica com raízes , de onde as soluções básicas são e . O par difere de apenas por um fator constante em uma solução, portanto é linearmente independente. Seu Wronskiano é
logo formam conjunto fundamental. A afirmação que “não formam” é falsa.
Passo 6
Item (e): A EDO y''+4y=0 tem equação característica r^2+4=0 com raízes pm2i. Daí a solução geral