Considere o problema de valor inicial
l y^prime prime+5 y^prime+3 y=0 y(0)=alpha y^prime(0)=0
Determine o valor de alpha para o qual a solução tenda a zero quando t infty.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me mandou trata de um problema de valor inicial com uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem. Precisamos encontrar o valor de alpha que faz com que a solução da EDO tenda a zero quando t vai para o infinito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações características e comportamento assintótico das soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação diferencial que temos:
y'' + 5y' + 3y = 0
Esta é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver esse tipo de equação, usamos a equação característica.

Passo 3

A equação característica associada a essa EDO é obtida substituindo y = e^rt na equação diferencial. Fazendo isso, temos:
r^2 + 5r + 3 = 0
Essa é uma equação quadrática que vamos resolver para encontrar os valores de r.

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática r^2 + 5r + 3 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1, b = 5 e c = 3. Substituindo esses valores:
r = -5 pm raiz25 - 122 = -5 pm raiz132

Passo 5

Encontramos dois valores de r:
r1 = -5 + raiz132 e r2 = -5 - raiz132
Ambos os valores de r são reais e negativos, já que raiz13 é aproximadamente 3.605, então:
r1 approx -5 + 3.6052 approx -0.697 r2 approx -5 - 3.6052 approx -4.303

Passo 6

Com os valores de r1 e r2, a solução geral da EDO é:
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t
Onde C1 e C2 são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 7

As condições iniciais fornecidas são:
y(0) = alpha y'(0) = 0
Vamos usar essas condições para encontrar C1 e C2.

Passo 8

Primeiro, aplicamos y(0) = alpha:
y(0) = C1 e^r1 cdot 0 + C2 e^r2 cdot 0 alpha = C1 + C2
Então, temos a equação:
C1 + C2 = alpha (1)

Passo 9

Agora, vamos encontrar y'(t) e usar y'(0) = 0:
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t y'(t) = C1 r1 e^r1 t + C2 r2 e^r2 t
Aplicando t = 0:
y'(0) = C1 r1 + C2 r2 = 0 (2)

Passo 10

Agora temos um sistema de duas equações:
C1 + C2 = alpha C1 r1 + C2 r2 = 0
Vamos resolver esse sistema para encontrar C1 e C2 em termos de alpha.

Passo 11

Resolvendo a equação (1) para C1:
C1 = alpha - C2
Substituindo na equação (2):
(alpha - C2) r1 + C2 r2 = 0 alpha r1 - C2 r1 + C2 r2 = 0 C2 (r2 - r1) = -alpha r1 C2 = -alpha r1r2 - r1

Passo 12

Agora, substituímos C2 na equação C1 = alpha - C2:
C1 = alpha - ( -alpha r1r2 - r1 ) = alpha + alpha r1r2 - r1 = alpha ( 1 + r1r2 - r1 )
Simplificando:
C1 = alpha ( r2 - r1 + r1r2 - r1 ) = alpha ( r2r2 - r1 )

Passo 13

Agora, temos C1 e C2 em termos de alpha. A solução particular é:
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t = alpha ( r2r2 - r1 ) e^r1 t + alpha ( -r1r2 - r1 ) e^r2 t

Passo 14

Agora, observamos o comportamento da solução quando t infty. Como ambos r1 e r2 são negativos, e^r1 t e e^r2 t tendem a zero. Portanto:
limt to infty y(t) = 0

Resposta

O valor de alpha pode ser qualquer número real, ou seja, alpha in R, para que a solução tenda a zero quando t infty.

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