Determine o valor de alpha para o qual a solução tenda a zero quando t infty.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me mandou trata de um problema de valor inicial com uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem. Precisamos encontrar o valor de alpha que faz com que a solução da EDO tenda a zero quando t vai para o infinito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações características e comportamento assintótico das soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação diferencial que temos:
y'' + 5y' + 3y = 0
Esta é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver esse tipo de equação, usamos a equação característica.
Passo 3
A equação característica associada a essa EDO é obtida substituindo y = e^rt na equação diferencial. Fazendo isso, temos:
r^2 + 5r + 3 = 0
Essa é uma equação quadrática que vamos resolver para encontrar os valores de r.
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática r^2 + 5r + 3 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1, b = 5 e c = 3. Substituindo esses valores:
r = -5 pm raiz25 - 122 = -5 pm raiz132
Passo 5
Encontramos dois valores de r:
r1 = -5 + raiz132 e r2 = -5 - raiz132
Ambos os valores de r são reais e negativos, já que raiz13 é aproximadamente 3.605, então: