Calcule
Aqui, você pode resolver a integral escolhendo uma curva de sua preferência, ou então encontrando uma função potencial adequada. Observe o domínio do campo para resolver a integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
Isso é um campo vetorial F(x,y,z) = (cos(x+y+z), cos(x+y+z), cos(x+y+z)). Precisamos reconhecer que esse campo é conservativo e usar uma função potencial para simplificar a integral.
Passo 2
Para ver que F é conservativo, note que F pode ser escrito como gradiente de alguma f(x,y,z). De fato, se tentarmos escolher:
então
Como o domínio (todo
) é simplesmente conexo e F tem derivadas contínuas, a integral de linha depende apenas dos extremos.
Passo 3
Basta então aplicar o teorema fundamental para integrais de linha de campos conservativos: basta calcular
Observe que
Logo,
e
Resposta
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