Calcule
integral(0,0,0)^(pi12, pi4, pi6) cos (x+y+z) d x+cos (x+y+z) d y+cos (x+y+z) d z
Aqui, você pode resolver a integral escolhendo uma curva de sua preferência, ou então encontrando uma função potencial adequada. Observe o domínio do campo para resolver a integral.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integral(0,0,0)^(pi12,pi4,pi6) cos(x+y+z),dx + cos(x+y+z),dy + cos(x+y+z),dz
Isso é um campo vetorial F(x,y,z) = (cos(x+y+z), cos(x+y+z), cos(x+y+z)). Precisamos reconhecer que esse campo é conservativo e usar uma função potencial para simplificar a integral.

Passo 2

Para ver que F é conservativo, note que F pode ser escrito como gradiente de alguma f(x,y,z). De fato, se tentarmos escolher:
f(x,y,z)=sin(x+y+z),
então
nabla f = l(partial fpartial x,partial fpartial y,partial fpartial zr) = (cos(x+y+z),cos(x+y+z),cos(x+y+z)) = F(x,y,z)
Como o domínio (todo R^3) é simplesmente conexo e F tem derivadas contínuas, a integral de linha depende apenas dos extremos.

Passo 3

Basta então aplicar o teorema fundamental para integrais de linha de campos conservativos: basta calcular
fl(tfracpi12,tfracpi4,tfracpi6r) - f(0,0,0)
Observe que
tfracpi12+tfracpi4+tfracpi6 = tfracpi12+tfrac3pi12+tfrac2pi12 = tfrac6pi12=tfracpi2
Logo,
fl(tfracpi12,tfracpi4,tfracpi6r)=sinl(tfracpi2r)=1
e
f(0,0,0)=sin(0)=0

Resposta

1

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