Considere o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=x y^{2} \\\ y(0)=1 \end{array}\right.
  1. Escreva a forma integral do problema.
  2. Construa as duas primeiras aproximações de Picard, partindo de y_{0}(x)=1.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=x y^{2},\\[4pt] y(0)=1, \end{array}\right.
e pede duas coisas:
  • (1) Escrever a forma integral do problema.
  • (2) Construir as duas primeiras aproximações de Picard, começando com y_{0}(x)=1.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função do lado direito é f(x,y)=x y^{2}.
  • A condição inicial é y(0)=1.
  • A aproximação de Picard parte de y_{0}(x)=1 e gera y_{1},y_{2},\dots.]

Passo 2

Derivar a forma integral a partir da equação diferencial (passo-a-passo e por que isso funciona).
Se y é diferenciável e satisfaz y'(x)=x\,y(x)^{2}, podemos integrar ambos os lados entre 0 e x. Escrevendo a variável de integração como t (para não confundir com o limite x), temos
\int_{0}^{x} y'(t)\,dt = \int_{0}^{x} t\,[y(t)]^{2}\,dt.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral do lado esquerdo é y(x)-y(0). Usando a condição inicial y(0)=1 obtemos
y(x)-1 = \int_{0}^{x} t\,[y(t)]^{2}\,dt.
Isolando y(x) surge a forma integral do problema:
y(x)=1+\int_{0}^{x} t\,[y(t)]^{2}\,dt.
Explicação rápida das notações: t é a variável de integração (um ponto no intervalo entre 0 e x), y(t) é o valor da função no ponto t. Essa equação é equivalente ao problema diferencial original desde que y seja suficientemente regular.

Passo 3

Apresentar o método de Picard (ideia e fórmula de iteração).
A ideia de Picard é transformar a equação integral y=G(y) com
G(y)(x):=1+\int_{0}^{x} t\,[y(t)]^{2}\,dt
numa iteração sucessiva de funções: escolhe-se uma aproximação inicial y_{0}(x) e define-se, para n\ge0,
y_{n+1}(x)=1+\int_{0}^{x} t\,[y_{n}(t)]^{2}\,dt.
Cada y_{n} é uma aproximação da solução; sob hipóteses apropriadas as y_{n} convergem uniformemente para a solução verdadeira. Aqui já foi dada y_{0}(x)=1, então aplicamos a fórmula acima para obter y_{1} e y_{2}.

Passo 4

Construir a primeira aproximação y_{1}(x) (cálculo passo-a-passo).
Usar a fórmula de Picard com y_{0}(t)=1:
y_{1}(x)=1+\int_{0}^{x} t\,[y_{0}(t)]^{2}\,dt =1+\int_{0}^{x} t\cdot 1^{2}\,dt =1+\int_{0}^{x} t\,dt.
Calcule a integral:
\int_{0}^{x} t\,dt = \left.\frac{t^{2}}{2}\right|_{0}^{x}=\frac{x^{2}}{2}.
Portanto
y_{1}(x)=1+\frac{x^{2}}{2}.

Passo 5

Construir a segunda aproximação y_{2}(x) (cálculo detalhado).
Partimos de
y_{2}(x)=1+\int_{0}^{x} t\,[y_{1}(t)]^{2}\,dt, \qquad y_{1}(t)=1+\frac{t^{2}}{2}.
Primeiro calculamos o quadrado:
[y_{1}(t)]^{2}=\Bigl(1+\frac{t^{2}}{2}\Bigr)^{2} =1+2\cdot\frac{t^{2}}{2}+\Bigl(\frac{t^{2}}{2}\Bigr)^{2} =1+t^{2}+\frac{t^{4}}{4}.
Multiplicando por t aparece o integrando:
t\,[y_{1}(t)]^{2}=t\Bigl(1+t^{2}+\frac{t^{4}}{4}\Bigr) =t+t^{3}+\frac{t^{5}}{4}.
Agora integramos termo a termo de 0 a x:
\int_{0}^{x}\Bigl(t+t^{3}+\frac{t^{5}}{4}\Bigr)\,dt =\left.\frac{t^{2}}{2}\right|_{0}^{x} +\left.\frac{t^{4}}{4}\right|_{0}^{x} +\left.\frac{t^{6}}{24}\right|_{0}^{x}.
Isso dá
\int_{0}^{x} t\,[y_{1}(t)]^{2}\,dt =\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{6}}{24}.
Logo
y_{2}(x)=1+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{6}}{24}.
Comentário rápido e motivacional: essas aproximações ficam cada vez melhores; se quiser checar, dá para resolver a equação por separação de variáveis e ver que a solução exata é y(x)=\dfrac{1}{1-\tfrac{x^{2}}{2}} (mas isso é só para verificação — o método de Picard é o que se pede e produz aproximações que convergem para essa solução). Você já fez o mais chato: integrar passo a passo e expandir o quadrado corretamente — tá indo bem!

Resposta

y(x)=1+\displaystyle\int_{0}^{x} t\,[y(t)]^{2}\,dt
y_{1}(x)=1+\dfrac{x^{2}}{2}
y_{2}(x)=1+\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{4}}{4}+\dfrac{x^{6}}{24}

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