(2) Construir as duas primeiras aproximações de Picard, começando com y_{0}(x)=1.
Informações relevantes fornecidas:
A função do lado direito é f(x,y)=x y^{2}.
A condição inicial é y(0)=1.
A aproximação de Picard parte de y_{0}(x)=1 e gera y_{1},y_{2},\dots.]
Passo 2
Derivar a forma integral a partir da equação diferencial (passo-a-passo e por que isso funciona).
Se y é diferenciável e satisfaz y'(x)=x\,y(x)^{2}, podemos integrar ambos os lados entre 0 e x. Escrevendo a variável de integração como t (para não confundir com o limite x), temos
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral do lado esquerdo é y(x)-y(0). Usando a condição inicial y(0)=1 obtemos
y(x)-1 = \int_{0}^{x} t\,[y(t)]^{2}\,dt.
Isolando y(x) surge a forma integral do problema:
y(x)=1+\int_{0}^{x} t\,[y(t)]^{2}\,dt.
Explicação rápida das notações: t é a variável de integração (um ponto no intervalo entre 0 e x), y(t) é o valor da função no ponto t. Essa equação é equivalente ao problema diferencial original desde que y seja suficientemente regular.
Passo 3
Apresentar o método de Picard (ideia e fórmula de iteração).
A ideia de Picard é transformar a equação integral y=G(y) com
G(y)(x):=1+\int_{0}^{x} t\,[y(t)]^{2}\,dt
numa iteração sucessiva de funções: escolhe-se uma aproximação inicial y_{0}(x) e define-se, para n\ge0,
y_{n+1}(x)=1+\int_{0}^{x} t\,[y_{n}(t)]^{2}\,dt.
Cada y_{n} é uma aproximação da solução; sob hipóteses apropriadas as y_{n} convergem uniformemente para a solução verdadeira. Aqui já foi dada y_{0}(x)=1, então aplicamos a fórmula acima para obter y_{1} e y_{2}.
Passo 4
Construir a primeira aproximação y_{1}(x) (cálculo passo-a-passo).
Comentário rápido e motivacional: essas aproximações ficam cada vez melhores; se quiser checar, dá para resolver a equação por separação de variáveis e ver que a solução exata é y(x)=\dfrac{1}{1-\tfrac{x^{2}}{2}} (mas isso é só para verificação — o método de Picard é o que se pede e produz aproximações que convergem para essa solução). Você já fez o mais chato: integrar passo a passo e expandir o quadrado corretamente — tá indo bem!