- Considere o problema de valor inicial
(a) Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial e pede para resolvê-lo. Dados e pedido:
- Equação diferencial ordinária:
- Condições iniciais:
- Pergunta: (a) achar a solução
que satisfaz a equação e as condições iniciais.
Passo 2
Que tipo de solução vamos procurar (explicação didática e fórmula que vamos usar).
Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes do tipo
procura-se soluções da forma exponencial
. Substituindo isso na equação obtém-se o polinômio característico em
:
As raízes
desse polinômio determinam a forma geral da solução:
- Se as raízes
e são distintas reais, então - Se há uma raiz real dupla
(isto é, multiplicidade 2), então
Aqui vou aplicar esse procedimento ao nosso caso.
Passo 3
Formo o polinômio característico a partir de
. Substituindo
obtenho:
Calculo o discriminante
para ver o tipo de raízes:
Como
, a equação tem uma raiz real dupla. Agora computo a raiz:
Passo 4
Pelo caso de raiz dupla, a forma geral da solução é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais e
. Então escrevo:
Passo 5
Uso a primeira condição inicial
. Avaliando
em
:
Logo encontramos
Passo 6
Agora preciso de
. Para isso calculo
passo a passo (explico a diferenciação para você poder reproduzir na prova).
Começo de
Apliquei a regra do produto: se
e
, então
.
-
. -
.
Portanto,
Agora avalio em
:
A condição inicial diz que
. Substituindo
e
obtém-se:
Isolando
:
Passo 7
Agora já temos as constantes determinadas por:
Com isso a solução particular do problema de valor inicial está completamente determinada. (Na seção de resposta abaixo eu apresento a expressão final substituída.)