1. Considere o problema de valor inicial
9 y^{\prime \prime}+12 y^{\prime}+4 y=0, \quad y(0)=a>0, \quad y^{\prime}(0)=-1
(a) Resolva o problema de valor inicial.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial e pede para resolvê-lo. Dados e pedido:
  • Equação diferencial ordinária: 9 y'' + 12 y' + 4 y = 0.
  • Condições iniciais: y(0)=a>0,\qquad y'(0)=-1.
  • Pergunta: (a) achar a solução y(x) que satisfaz a equação e as condições iniciais.

Passo 2

Que tipo de solução vamos procurar (explicação didática e fórmula que vamos usar).
Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes do tipo a y'' + b y' + c y = 0 procura-se soluções da forma exponencial y(x)=e^{r x}. Substituindo isso na equação obtém-se o polinômio característico em r:
a r^{2} + b r + c = 0.
As raízes r desse polinômio determinam a forma geral da solução:
  • Se as raízes r_1 e r_2 são distintas reais, então \;y(x)=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}.
  • Se há uma raiz real dupla r (isto é, multiplicidade 2), então \;y(x)=(C_1 + C_2 x)e^{r x}.
    Aqui vou aplicar esse procedimento ao nosso caso.

Passo 3

Formo o polinômio característico a partir de \;9 y''+12 y' +4 y=0. Substituindo y=e^{r x} obtenho:
9 r^{2} + 12 r + 4 = 0.
Calculo o discriminante \Delta para ver o tipo de raízes:
\Delta = 12^{2} - 4\cdot 9 \cdot 4 = 144 - 144 = 0.
Como \Delta=0, a equação tem uma raiz real dupla. Agora computo a raiz:
r = \frac{-12}{2\cdot 9} = \frac{-12}{18} = -\tfrac{2}{3}.

Passo 4

Pelo caso de raiz dupla, a forma geral da solução é
y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{r x},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais e r=-\tfrac{2}{3}. Então escrevo:
y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{-2x/3}.

Passo 5

Uso a primeira condição inicial \;y(0)=a. Avaliando y(x) em x=0:
y(0) = (C_1 + C_2\cdot 0) e^{0} = C_1 = a.
Logo encontramos \;C_1 = a.

Passo 6

Agora preciso de C_2. Para isso calculo y'(x) passo a passo (explico a diferenciação para você poder reproduzir na prova).
Começo de y(x)=(C_1 + C_2 x)e^{r x}.
Apliquei a regra do produto: se u(x)=C_1+C_2 x e v(x)=e^{r x}, então y'=u'v+uv'.
  • u'(x)=C_2.
  • v'(x)=r e^{r x}.
    Portanto,
y'(x) = C_2 e^{r x} + (C_1 + C_2 x)\, r e^{r x} = e^{r x}\big(C_2 + r C_1 + r C_2 x\big).
Agora avalio em x=0:
y'(0) = C_2 + r C_1.
A condição inicial diz que y'(0)=-1. Substituindo C_1=a e r=-\tfrac{2}{3} obtém-se:
C_2 + \Big(-\tfrac{2}{3}\Big) a = -1.
Isolando C_2:
C_2 = -1 + \tfrac{2}{3} a.

Passo 7

Agora já temos as constantes determinadas por:
C_1 = a,\qquad C_2 = -1 + \tfrac{2}{3}a.
Com isso a solução particular do problema de valor inicial está completamente determinada. (Na seção de resposta abaixo eu apresento a expressão final substituída.)

Resposta

y(x)=\Bigl(a+\bigl(-1+\tfrac{2}{3}a\bigr)x\Bigr)e^{-2x/3}

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