(b) Verdadeiro ou falso: \operatorname{Tr}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})=\operatorname{Tr}(\mathbf{B}\cdot\mathbf{A}) ?
(c) Verdadeiro ou falso: \operatorname{Tr}(\mathbf{A})=\operatorname{Tr}\left(\mathbf{A}^{t}\right) ?
(d) Verdadeiro ou falso: \operatorname{Tr}(\mathbf{A})=\big(\operatorname{Tr}(\mathbf{A}^{-1})\big)^{-1} ?
(e) Verdadeiro ou falso: \operatorname{Tr}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})=\operatorname{Tr}(\mathbf{A})\cdot\operatorname{Tr}(\mathbf{B}) ?
As informações relevantes estão todas aí: a definição do traço e as cinco perguntas. Vou resolver cada item passo a passo, explicando a ideia por trás de cada propriedade e dando exemplos/counterexemplos quando necessário.]
Passo 2
Entendendo a definição do traço e resolvendo (a).
O traço de uma matriz quadrada \mathbf{A}=[a_{ij}]_{n\times n} é a soma dos elementos da diagonal principal:
Os elementos da diagonal principal são 2 e 5. Portanto,
\operatorname{Tr}(\mathbf{M})=2+5=7.
(Isto responde o item (a).)]
Passo 3
Propriedade para (b): provar que \operatorname{Tr}(\mathbf{A}\mathbf{B})=\operatorname{Tr}(\mathbf{B}\mathbf{A}).
Vou fazer uma prova direta usando somatórios por índices, que é a maneira clássica e clara.
Seja \mathbf{A}=[a_{ij}] de tamanho m\times n e \mathbf{B}=[b_{jk}] de tamanho n\times m. Assim \mathbf{A}\mathbf{B} é m\times m e \mathbf{B}\mathbf{A} é n\times n. As fórmulas de entrada dos produtos são
Conclusão: sempre que os produtos \mathbf{A}\mathbf{B} e \mathbf{B}\mathbf{A} forem definidos (caso comum: \mathbf{A} e \mathbf{B} são ambas n\times n, ou mais geral \mathbf{A} é m\times n e \mathbf{B} é n\times m), vale
Exemplo numérico rápido para fixar: se \mathbf{A}=\begin{pmatrix}1&2\\\ 0&3\end{pmatrix}, \mathbf{B}=\begin{pmatrix}4&0\\\ 1&-1\end{pmatrix},
calcule \operatorname{Tr}(\mathbf{A}\mathbf{B}) e \operatorname{Tr}(\mathbf{B}\mathbf{A}) e verá que coincidem (experimente na prova se quiser).
Passo 4
Propriedade para (c): mostrar que \operatorname{Tr}(\mathbf{A})=\operatorname{Tr}(\mathbf{A}^{t}).
Lembrando a definição da transposta: (\mathbf{A}^{t})_{ij}=a_{ji}.
Os elementos da diagonal de \mathbf{A}^{t} são (\mathbf{A}^{t})_{ii}=a_{ii} (mesmo índice), portanto
Conclusão: sempre verdadeiro; transposição não altera os elementos da diagonal principal.
Passo 5
Analisando (d): será que \operatorname{Tr}(\mathbf{A})=\big(\operatorname{Tr}(\mathbf{A}^{-1})\big)^{-1} ?
Intuição: essa igualdade diz que a soma dos autovalores de \mathbf{A} (que é a trace) seria o inverso multiplicativo da soma dos autovalores de \mathbf{A}^{-1}. Não há razão algébrica geral para isso ser verdade; não é uma propriedade do traço nem da inversão de matrizes.
Contraexemplo simples: tome \mathbf{I}_2 (matriz identidade 2\times2). Então
Se a igualdade fosse verdadeira teríamos 2=\tfrac{1}{2}, o que é falso. Logo a propriedade é falsa no geral.
Observação útil: para matrizes 1\times1 (escalares) a propriedade vale porque aí trace é o próprio número e inverso funciona normalmente. Mas para qualquer dimensão n\ge2 não é válida em geral.
Passo 6
Analisando (e): será que \operatorname{Tr}(\mathbf{A}\mathbf{B})=\operatorname{Tr}(\mathbf{A})\cdot\operatorname{Tr}(\mathbf{B}) ?
Intuição: a igualdade pede que “soma dos elementos diagonais do produto” seja o produto das somas das diagonais. Isso é uma identidade muito forte e, em geral, não se mantém porque traço é linear, mas não multiplicativo dessa forma.
Portanto a igualdade falha (2 \neq 4). Logo, em geral, é falsa.
Quando poderia acontecer? Em casos muito especiais, por exemplo para matrizes 1\times1 (escalars) a propriedade se reduz ao ab= a\cdot b e é verdadeira. Mas para dimensões maiores, só em situações particulares muito restritas (matrizes com traços e produtos ajustados) — não é uma identidade geral.
Passo 7
Resumo rápido do que aprendemos (amigo, respira!):
O traço é a soma dos elementos da diagonal principal.
A propriedade \operatorname{Tr}(\mathbf{A}\mathbf{B})=\operatorname{Tr}(\mathbf{B}\mathbf{A}) é verdadeira e tem prova direta por troca de somatórios (válida inclusive no caso mais geral \mathbf{A}m\times n, \mathbf{B}n\times m).
A transposição não muda o traço: \operatorname{Tr}(\mathbf{A})=\operatorname{Tr}(\mathbf{A}^{t}).
As igualdades envolvendo inverso do traço ou produto de traços com traço do produto são, em geral, falsas; mostrei contraexemplos simples para cada uma.