1. Seja \mathbf{A}=\left[a_{i j}\right]_{n \times n} uma matriz quadrada. Definimos o traço de \mathbf{A}, \operatorname{Tr}(\mathbf{A}), por \sum_{i=1}^{n} a_{i i}
    a) Calcule \operatorname{Tr}\left[\begin{array}{rr}2 & -1 \\\\ 3 & 5\end{array}\right]
    b) \operatorname{Tr}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})=\operatorname{Tr}(\mathbf{B} \cdot \mathbf{A}) ?
    c) \operatorname{Tr}(\mathbf{A})=\operatorname{Tr}\left(\mathbf{A}^{t}\right) ?
    d) \operatorname{Tr}(\mathbf{A})=\left(\operatorname{Tr}\left(\mathbf{A}^{-1}\right)\right)^{-1} ?
    e) \operatorname{Tr}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})=\operatorname{Tr}(\mathbf{A}) \cdot \operatorname{Tr}(\mathbf{B}) ?
    e) \operatorname{Tr}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})=\operatorname{Tr}(\mathbf{A}) \cdot \operatorname{Tr}(\mathbf{B}) ?

Passo 1

O enunciado dá a definição do traço de uma matriz quadrada: \operatorname{Tr}(\mathbf{A})=\sum_{i=1}^{n} a_{ii}. Perguntas:
(a) Calcular \operatorname{Tr} da matriz \displaystyle \begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] 3 & 5\end{pmatrix}.
(b) Verdadeiro ou falso: \operatorname{Tr}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})=\operatorname{Tr}(\mathbf{B}\cdot\mathbf{A}) ?
(c) Verdadeiro ou falso: \operatorname{Tr}(\mathbf{A})=\operatorname{Tr}\left(\mathbf{A}^{t}\right) ?
(d) Verdadeiro ou falso: \operatorname{Tr}(\mathbf{A})=\big(\operatorname{Tr}(\mathbf{A}^{-1})\big)^{-1} ?
(e) Verdadeiro ou falso: \operatorname{Tr}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})=\operatorname{Tr}(\mathbf{A})\cdot\operatorname{Tr}(\mathbf{B}) ?
As informações relevantes estão todas aí: a definição do traço e as cinco perguntas. Vou resolver cada item passo a passo, explicando a ideia por trás de cada propriedade e dando exemplos/counterexemplos quando necessário.]

Passo 2

Entendendo a definição do traço e resolvendo (a).
  • O traço de uma matriz quadrada \mathbf{A}=[a_{ij}]_{n\times n} é a soma dos elementos da diagonal principal:
\operatorname{Tr}(\mathbf{A})=\sum_{i=1}^{n} a_{ii}.
Aqui o índice i percorre as linhas (e colunas) da diagonal, e a_{ii} é o elemento da linha i e coluna i.
  • Aplicando isso na matriz dada:
\mathbf{M}=\begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] 3 & 5\end{pmatrix}.
Os elementos da diagonal principal são 2 e 5. Portanto,
\operatorname{Tr}(\mathbf{M})=2+5=7.
(Isto responde o item (a).)]

Passo 3

Propriedade para (b): provar que \operatorname{Tr}(\mathbf{A}\mathbf{B})=\operatorname{Tr}(\mathbf{B}\mathbf{A}).
Vou fazer uma prova direta usando somatórios por índices, que é a maneira clássica e clara.
  • Seja \mathbf{A}=[a_{ij}] de tamanho m\times n e \mathbf{B}=[b_{jk}] de tamanho n\times m. Assim \mathbf{A}\mathbf{B} é m\times m e \mathbf{B}\mathbf{A} é n\times n. As fórmulas de entrada dos produtos são
(\mathbf{A}\mathbf{B})_{ik}=\sum_{j=1}^{n} a_{ij} b_{jk}, \qquad (\mathbf{B}\mathbf{A})_{ji}=\sum_{k=1}^{m} b_{jk} a_{ki}.
  • A definição do traço aplica-se somando os elementos diagonais. Para \mathbf{A}\mathbf{B} (que é m\times m):
\operatorname{Tr}(\mathbf{A}\mathbf{B})=\sum_{i=1}^{m} (\mathbf{A}\mathbf{B})_{ii} =\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} a_{ij} b_{ji}.
  • Troque a ordem de soma (é permitido porque são somas finitas):
\operatorname{Tr}(\mathbf{A}\mathbf{B}) =\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m} b_{ji} a_{ij} =\sum_{j=1}^{n} (\mathbf{B}\mathbf{A})_{jj} =\operatorname{Tr}(\mathbf{B}\mathbf{A}).
  • Conclusão: sempre que os produtos \mathbf{A}\mathbf{B} e \mathbf{B}\mathbf{A} forem definidos (caso comum: \mathbf{A} e \mathbf{B} são ambas n\times n, ou mais geral \mathbf{A} é m\times n e \mathbf{B} é n\times m), vale
\operatorname{Tr}(\mathbf{A}\mathbf{B})=\operatorname{Tr}(\mathbf{B}\mathbf{A}).
Exemplo numérico rápido para fixar: se
\mathbf{A}=\begin{pmatrix}1&2\\\ 0&3\end{pmatrix},
\mathbf{B}=\begin{pmatrix}4&0\\\ 1&-1\end{pmatrix},
calcule \operatorname{Tr}(\mathbf{A}\mathbf{B}) e \operatorname{Tr}(\mathbf{B}\mathbf{A}) e verá que coincidem (experimente na prova se quiser).

Passo 4

Propriedade para (c): mostrar que \operatorname{Tr}(\mathbf{A})=\operatorname{Tr}(\mathbf{A}^{t}).
  • Lembrando a definição da transposta: (\mathbf{A}^{t})_{ij}=a_{ji}.
  • Os elementos da diagonal de \mathbf{A}^{t} são (\mathbf{A}^{t})_{ii}=a_{ii} (mesmo índice), portanto
\operatorname{Tr}(\mathbf{A}^{t})=\sum_{i=1}^{n} (\mathbf{A}^{t})_{ii}=\sum_{i=1}^{n} a_{ii}=\operatorname{Tr}(\mathbf{A}).
  • Conclusão: sempre verdadeiro; transposição não altera os elementos da diagonal principal.

Passo 5

Analisando (d): será que \operatorname{Tr}(\mathbf{A})=\big(\operatorname{Tr}(\mathbf{A}^{-1})\big)^{-1} ?
  • Intuição: essa igualdade diz que a soma dos autovalores de \mathbf{A} (que é a trace) seria o inverso multiplicativo da soma dos autovalores de \mathbf{A}^{-1}. Não há razão algébrica geral para isso ser verdade; não é uma propriedade do traço nem da inversão de matrizes.
  • Contraexemplo simples: tome \mathbf{I}_2 (matriz identidade 2\times2). Então
\operatorname{Tr}(\mathbf{I}_2)=2, \qquad \operatorname{Tr}(\mathbf{I}_2^{-1})=\operatorname{Tr}(\mathbf{I}_2)=2.
Se a igualdade fosse verdadeira teríamos 2=\tfrac{1}{2}, o que é falso. Logo a propriedade é falsa no geral.
  • Observação útil: para matrizes 1\times1 (escalares) a propriedade vale porque aí trace é o próprio número e inverso funciona normalmente. Mas para qualquer dimensão n\ge2 não é válida em geral.

Passo 6

Analisando (e): será que \operatorname{Tr}(\mathbf{A}\mathbf{B})=\operatorname{Tr}(\mathbf{A})\cdot\operatorname{Tr}(\mathbf{B}) ?
  • Intuição: a igualdade pede que “soma dos elementos diagonais do produto” seja o produto das somas das diagonais. Isso é uma identidade muito forte e, em geral, não se mantém porque traço é linear, mas não multiplicativo dessa forma.
  • Contraexemplo rápido: considere \mathbf{I}_2 (identidade 2\times2). Temos
\operatorname{Tr}(\mathbf{I}_2\cdot\mathbf{I}_2)=\operatorname{Tr}(\mathbf{I}_2)=2,
mas
\operatorname{Tr}(\mathbf{I}_2)\cdot\operatorname{Tr}(\mathbf{I}_2)=2\cdot2=4.
Portanto a igualdade falha (2 \neq 4). Logo, em geral, é falsa.
  • Quando poderia acontecer? Em casos muito especiais, por exemplo para matrizes 1\times1 (escalars) a propriedade se reduz ao ab= a\cdot b e é verdadeira. Mas para dimensões maiores, só em situações particulares muito restritas (matrizes com traços e produtos ajustados) — não é uma identidade geral.

Passo 7

Resumo rápido do que aprendemos (amigo, respira!):
  • O traço é a soma dos elementos da diagonal principal.
  • A propriedade \operatorname{Tr}(\mathbf{A}\mathbf{B})=\operatorname{Tr}(\mathbf{B}\mathbf{A}) é verdadeira e tem prova direta por troca de somatórios (válida inclusive no caso mais geral \mathbf{A} m\times n, \mathbf{B} n\times m).
  • A transposição não muda o traço: \operatorname{Tr}(\mathbf{A})=\operatorname{Tr}(\mathbf{A}^{t}).
  • As igualdades envolvendo inverso do traço ou produto de traços com traço do produto são, em geral, falsas; mostrei contraexemplos simples para cada uma.

Resposta

(a) \operatorname{Tr}\!\left(\begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] 3 & 5\end{pmatrix}\right)=7
(b) \operatorname{Tr}(\mathbf{A}\mathbf{B})=\operatorname{Tr}(\mathbf{B}\mathbf{A}) — Sim.
(c) \operatorname{Tr}(\mathbf{A})=\operatorname{Tr}(\mathbf{A}^{t}) — Sim.
(d) \operatorname{Tr}(\mathbf{A})=\big(\operatorname{Tr}(\mathbf{A}^{-1})\big)^{-1} — Não.
(e) \operatorname{Tr}(\mathbf{A}\mathbf{B})=\operatorname{Tr}(\mathbf{A})\cdot\operatorname{Tr}(\mathbf{B}) — Não.]

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