Os problemas de 20 a 22 indicam outras maneiras de encontrar uma segunda solução quando a equação característica tem raízes repetidas.
20. (a) Considere a equação y^{\prime \prime}+2 a y^{\prime}+a^{2} y=0. Mostre que as raízes da equação característica são r_{1}=r_{2}=-a, de modo que uma solução da equação é e^{-a t}.
(b) Use a fórmula de Abel [Eq. (23) da Seção 3.2] para mostrar que o wronskiano de duas soluções quaisquer da equação dada é
W(t)=y_{1}(t) y_{2}^{\prime}(t)-y_{1}^{\prime}(t) y_{2}(t)=c_{1} e^{-2 a t},
em que c_{1} é constante.
(c) Seja y_{1}(t)=e^{-a t} e use o resultado do item (b) para obter uma equação diferencial satisfeita por uma segunda solução y_{2}(t). Resolvendo essa equação, mostre que y_{2}(t)=t e^{-a t}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem linear homogênea com coeficientes constantes
y'' + 2a\,y' + a^{2}y = 0,
e pede três coisas:
  • (a) mostrar as raízes da equação característica e apontar uma solução conhecida e^{-a t};
  • (b) usar a fórmula de Abel para obter o wronskiano de duas soluções quaisquer;
  • (c) tomando y_{1}(t)=e^{-a t}, usar o resultado do item (b) para encontrar uma segunda solução y_{2}(t) e mostrar que y_{2}(t)=t e^{-a t}.
Informações relevantes dadas ou implícitas:
  • a é uma constante (real, presumivelmente).
  • A equação é homogênea e de coeficientes constantes.
  • A fórmula de Abel (identidade de Abel) para uma equação da forma y''+p(t)y'+q(t)y=0 será usada.

Passo 2

Achar a equação característica: para uma equação linear homogênea com coeficientes constantes, procura-se soluções da forma y=e^{r t}. Substituindo \;y=e^{r t}\; em
y'' + 2a\,y' + a^{2}y = 0
leva à equação algébrica em r:
r^{2} + 2a r + a^{2} = 0.
Essa é a equação característica.

Passo 3

Resolver a equação característica:
r^{2} + 2a r + a^{2} = (r+a)^{2}=0,
portanto as raízes são
r_{1}=r_{2}=-a,
isto é, temos uma raiz dupla -a.

Passo 4

Verificar que y(t)=e^{-a t} é solução: calcular derivadas e substituir na EDO.
y(t)=e^{-a t},\qquad y'(t)=-a e^{-a t},\qquad y''(t)=a^{2} e^{-a t}.
Substituindo na equação:
y''+2a y' + a^{2} y = a^{2} e^{-a t} + 2a(-a e^{-a t}) + a^{2} e^{-a t} = (a^{2}-2a^{2}+a^{2})e^{-a t}=0.
Logo y(t)=e^{-a t} é de fato uma solução.

Passo 5

Apresentar e derivar a fórmula de Abel (didaticamente). Para a equação geral
y'' + p(t) y' + q(t) y = 0,
definimos o wronskiano de duas soluções y_{1},y_{2} como
W(t)=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}.
Diferenciando W(t):
W'(t)=y_{1}y_{2}''-y_{1}''y_{2}.
Usando que y_{i}''=-p(t) y_{i}' - q(t) y_{i} (porque cada y_i satisfaz a EDO), obtemos
W' = y_{1}(-p y_{2}'-q y_{2}) - (-p y_{1}'-q y_{1})y_{2} = -p\,(y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}) = -p(t) W.
Assim obtemos a equação simples de primeira ordem
W' + p(t) W = 0.
Integrando, tem-se
\frac{W'}{W} = -p(t)\quad\Rightarrow\quad \ln|W| = -\int p(t)\,dt + C,
portanto a identidade de Abel:
W(t) = C \exp\!\Big(-\int p(t)\,dt\Big),
onde C é constante (dependente das soluções escolhidas).

Passo 6

Aplicar Abel ao caso presente: na equação dada \;y''+2a y' + a^{2} y=0\; temos p(t)=2a (constante). Logo
\int p(t)\,dt = \int 2a\,dt = 2a t + C_0,
e a fórmula de Abel fornece
W(t) = C \exp(-2a t - C_0) = c_{1} e^{-2a t},
onde c_{1} é uma constante arbitrária (absorvendo e^{-C_0} em C). Isto conclui o item (b): o wronskiano de duas soluções quaisquer é
W(t)=c_{1} e^{-2a t}.

Passo 7

Usar y_{1}(t)=e^{-a t} e o valor do wronskiano para encontrar y_{2}(t). Partimos da identidade
W(t)=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}=c_{1} e^{-2a t}.
Aplicar a técnica de redução de ordem: escrevemos y_{2}(t)=u(t)\,y_{1}(t). Calculamos
y_{2}' = u' y_{1} + u y_{1}'.
Substituindo em W:
W = y_{1}(u' y_{1} + u y_{1}') - y_{1}'(u y_{1}) = u' y_{1}^{2}.
Portanto obtemos uma equação simples para u':
u'(t) = \frac{W(t)}{y_{1}(t)^{2}}.

Passo 8

Calcular explicitamente u' com os y_{1} e W conhecidos. Aqui y_{1}(t)=e^{-a t} então
y_{1}(t)^{2}=e^{-2a t}.
Como W(t)=c_{1} e^{-2a t}, segue
u'(t)=\frac{c_{1} e^{-2a t}}{e^{-2a t}}=c_{1}.
Integrando:
u(t)=c_{1} t + c_{2},
onde c_{2} é outra constante de integração.

Passo 9

Voltar a y_{2}:
y_{2}(t)=u(t)\,y_{1}(t)=(c_{1} t + c_{2}) e^{-a t}.
Qualquer escolha com c_{1}\neq 0 fornece uma segunda solução linearmente independente de y_{1}. Tomando a escolha simples c_{1}=1 e c_{2}=0 (para obter uma forma particular e simples) obtemos
y_{2}(t)=t e^{-a t}.

Passo 10

Verificação direta (opcional, mas útil): calcular y_{2}' e y_{2}'' e substituir na equação para confirmar que y_{2}=t e^{-a t} satisfaz a EDO. Calcula-se
y_{2}'=(1 - a t)e^{-a t},\qquad y_{2}''=(a^{2} t - 2a)e^{-a t}.
Então
y_{2}'' + 2a y_{2}' + a^{2} y_{2} = e^{-a t}\big((a^{2} t - 2a) + 2a(1 - a t) + a^{2} t\big)=0,
confirmando que y_{2} é solução.

Resposta

(a) r_{1}=r_{2}=-a, e y(t)=e^{-a t} é solução.
(b) W(t)=c_{1} e^{-2a t}.
(c) y_{2}(t)=t e^{-a t}.

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