Os problemas de 20 a 22 indicam outras maneiras de encontrar uma segunda solução quando a equação característica tem raízes repetidas.
20. (a) Considere a equação
. Mostre que as raízes da equação característica são
, de modo que uma solução da equação é
.
(b) Use a fórmula de Abel [Eq. (23) da Seção 3.2] para mostrar que o wronskiano de duas soluções quaisquer da equação dada é
em que
é constante.
(c) Seja
e use o resultado do item (b) para obter uma equação diferencial satisfeita por uma segunda solução
. Resolvendo essa equação, mostre que
.
20. (a) Considere a equação
(b) Use a fórmula de Abel [Eq. (23) da Seção 3.2] para mostrar que o wronskiano de duas soluções quaisquer da equação dada é
(c) Seja
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem linear homogênea com coeficientes constantes
e pede três coisas:
- (a) mostrar as raízes da equação característica e apontar uma solução conhecida
; - (b) usar a fórmula de Abel para obter o wronskiano de duas soluções quaisquer;
- (c) tomando
, usar o resultado do item (b) para encontrar uma segunda solução e mostrar que .
Informações relevantes dadas ou implícitas:
-
é uma constante (real, presumivelmente). - A equação é homogênea e de coeficientes constantes.
- A fórmula de Abel (identidade de Abel) para uma equação da forma
será usada.
Passo 2
Achar a equação característica: para uma equação linear homogênea com coeficientes constantes, procura-se soluções da forma
. Substituindo
em
leva à equação algébrica em
:
Essa é a equação característica.
Passo 3
Resolver a equação característica:
portanto as raízes são
isto é, temos uma raiz dupla
.
Passo 4
Verificar que
é solução: calcular derivadas e substituir na EDO.
Substituindo na equação:
Logo
é de fato uma solução.
Passo 5
Apresentar e derivar a fórmula de Abel (didaticamente). Para a equação geral
definimos o wronskiano de duas soluções
como
Diferenciando
:
Usando que
(porque cada
satisfaz a EDO), obtemos
Assim obtemos a equação simples de primeira ordem
Integrando, tem-se
portanto a identidade de Abel:
onde
é constante (dependente das soluções escolhidas).
Passo 6
Aplicar Abel ao caso presente: na equação dada
temos
(constante). Logo
e a fórmula de Abel fornece
onde
é uma constante arbitrária (absorvendo
em
). Isto conclui o item (b): o wronskiano de duas soluções quaisquer é
Passo 7
Usar
e o valor do wronskiano para encontrar
. Partimos da identidade
Aplicar a técnica de redução de ordem: escrevemos
. Calculamos
Substituindo em
:
Portanto obtemos uma equação simples para
:
Passo 8
Calcular explicitamente
com os
e
conhecidos. Aqui
então
Como
, segue
Integrando:
onde
é outra constante de integração.
Passo 9
Voltar a
:
Qualquer escolha com
fornece uma segunda solução linearmente independente de
. Tomando a escolha simples
e
(para obter uma forma particular e simples) obtemos
Passo 10
Verificação direta (opcional, mas útil): calcular
e
e substituir na equação para confirmar que
satisfaz a EDO. Calcula-se
Então
confirmando que
é solução.
Resposta
(a)
, e
é solução.
(b) .
(c) .
(b)
(c)