Em cada um dos problemas de 1 a 10, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
  1. y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=0
  2. 9 y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+y=0
  3. 4 y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}-3 y=0
  4. 4 y^{\prime \prime}+12 y^{\prime}+9 y=0
  5. y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+10 y=0
  6. y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=0
  7. 4 y^{\prime \prime}+17 y^{\prime}+4 y=0
  8. 16 y^{\prime \prime}+24 y^{\prime}+9 y=0
  9. 25 y^{\prime \prime}-20 y^{\prime}+4 y=0
  10. 2 y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=0

Passo 1

O enunciado pede: para cada uma das 10 equações diferenciais dadas, encontrar a solução geral. As equações fornecidas são (copiei exatamente do enunciado):
\begin{aligned} &\text{1. } y'' - 2y' + y = 0\\\ &\text{2. } 9y'' - 6y' + y = 0\\\ &\text{3. } 4y'' - 4y' - 3y = 0\\\ &\text{4. } 4y'' + 12y' + 9y = 0\\\ &\text{5. } y'' - 2y' + 10y = 0\\\ &\text{6. } y'' - 6y' + 9y = 0\\\ &\text{7. } 4y'' + 17y' + 4y = 0\\\ &\text{8. } 16y'' + 24y' + 9y = 0\\\ &\text{9. } 25y'' - 20y' + 4y = 0\\\ &\text{10. } 2y'' + 2y' + y = 0 \end{aligned}
O objetivo é fornecer a solução geral y(x) para cada uma delas.

Passo 2

Método que vou usar (explicado passo a passo, bem devagar e sem pular etapas).
  1. Ideia básica: procurar soluções do tipo y=e^{rx}. Isso é uma tentativa clássica porque derivadas de exponenciais trazem fatores simples: y'=r e^{rx} e y''=r^2 e^{rx}.
  2. Substituindo y=e^{rx} numa equação linear com coeficientes constantes resulta numa equação algébrica para r, chamada equação característica. Se a equação diferencial tem a forma
a y'' + b y' + c y = 0
a equação característica é
a r^2 + b r + c = 0.
  1. Como resolver essa quadrática: usar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática)
r=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
O discriminante é \Delta=b^2-4ac. Dependendo de \Delta surgem três casos:
  • Se \Delta>0: duas raízes reais distintas r_1 e r_2. Solução geral
y(x)=C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}.
  • Se \Delta=0: raiz real dupla r. Solução geral
y(x)=(C_1 + C_2 x) e^{r x}.
  • Se \Delta<0: raízes complexas conjugadas r=\alpha\pm i\beta. Escrevendo a solução real em termos de senos e cossenos:
y(x)=e^{\alpha x}\bigl(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\bigr).
  1. Aqui C_1 e C_2 são constantes arbitrárias que serão determinadas por condições iniciais (se houvessem). Ok, agora aplico esse procedimento para cada equação, uma por uma, mostrando todos os cálculos.

Passo 3

Equação 1:
y''-2y'+y=0.
Equação característica:
r^2-2r+1=0.
Calcular discriminante:
\Delta = (-2)^2 - 4\cdot1\cdot1 = 4-4=0.
Como \Delta=0 temos raiz dupla. Calcular a raiz:
r=\frac{2}{2}=1.
Solução geral (caso de raiz dupla):
y(x)=(C_1 + C_2 x)e^{x}.

Passo 4

Equação 2:
9y''-6y'+y=0.
É mais simples dividir por 9 (ou montar diretamente a característica). Vou escrever a característica multiplicada por 1:
9r^2 -6r +1 = 0.
Calcular discriminante:
\Delta = (-6)^2 - 4\cdot9\cdot1 = 36 - 36 = 0.
Raiz dupla:
r=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}.
Solução geral:
y(x)=(C_1 + C_2 x)e^{x/3}.

Passo 5

Equação 3:
4y''-4y'-3y=0.
Equação característica:
4r^2 -4r -3 = 0.
Calcular discriminante:
\Delta = (-4)^2 - 4\cdot4\cdot(-3) = 16 + 48 = 64.
\sqrt{\Delta}=8. Raízes:
r=\frac{4\pm 8}{8}.
Calcular separadamente:
r_1=\frac{4+8}{8}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}, \qquad r_2=\frac{4-8}{8}=\frac{-4}{8}=-\frac{1}{2}.
Solução geral (raízes reais distintas):
y(x)=C_1 e^{\tfrac{3}{2}x} + C_2 e^{-\tfrac{1}{2}x}.

Passo 6

Equação 4:
4y''+12y'+9y=0.
Equação característica:
4r^2 +12r +9 = 0.
Calcular discriminante:
\Delta = 12^2 -4\cdot4\cdot9 = 144 - 144 = 0.
Raiz dupla:
r=\frac{-12}{8}=-\frac{3}{2}.
Solução geral (raiz dupla):
y(x)=(C_1 + C_2 x)e^{-\tfrac{3}{2}x}.

Passo 7

Equação 5:
y'' -2y' +10y = 0.
Equação característica:
r^2 -2r +10 = 0.
Calcular discriminante:
\Delta = (-2)^2 - 4\cdot1\cdot10 = 4 - 40 = -36.
Como \Delta<0 temos raízes complexas. Calcular raízes:
r=\frac{2\pm\sqrt{-36}}{2}=\frac{2\pm 6i}{2}=1\pm 3i.
Escrever em forma real usando \alpha=1 e \beta=3:
y(x)=e^{\alpha x}\bigl(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\bigr)
portanto
y(x)=e^{x}\bigl(C_1\cos 3x + C_2\sin 3x\bigr).

Passo 8

Equação 6:
y'' -6y' +9y = 0.
Equação característica:
r^2 -6r +9 = 0.
Calcular discriminante:
\Delta = (-6)^2 - 4\cdot1\cdot9 = 36 - 36 = 0.
Raiz dupla:
r=\frac{6}{2\cdot1}=3.
Solução geral:
y(x)=(C_1 + C_2 x)e^{3x}.

Passo 9

Equação 7:
4y'' +17y' +4y = 0.
Equação característica:
4r^2 +17r +4 = 0.
Calcular discriminante:
\Delta = 17^2 - 4\cdot4\cdot4 = 289 - 64 = 225.
\sqrt{\Delta}=15. Raízes:
r=\frac{-17\pm 15}{8}.
Calcular separadamente:
r_1=\frac{-17+15}{8}=\frac{-2}{8}=-\frac{1}{4}, \qquad r_2=\frac{-17-15}{8}=\frac{-32}{8}=-4.
Solução geral:
y(x)=C_1 e^{-\tfrac{1}{4}x} + C_2 e^{-4x}.

Passo 10

Equação 8:
16y'' +24y' +9y = 0.
Equação característica:
16r^2 +24r +9 = 0.
Calcular discriminante:
\Delta = 24^2 - 4\cdot16\cdot9 = 576 - 576 = 0.
Raiz dupla:
r=\frac{-24}{32}=-\frac{3}{4}.
Solução geral:
y(x)=(C_1 + C_2 x)e^{-\tfrac{3}{4}x}.

Passo 11

Equação 9:
25y'' -20y' +4y = 0.
Equação característica:
25r^2 -20r +4 = 0.
Calcular discriminante:
\Delta = (-20)^2 - 4\cdot25\cdot4 = 400 - 400 = 0.
Raiz dupla:
r=\frac{20}{50}=\frac{2}{5}.
Solução geral:
y(x)=(C_1 + C_2 x)e^{\tfrac{2}{5}x}.

Passo 12

Equação 10:
2y'' +2y' + y = 0.
Equação característica:
2r^2 +2r +1 = 0.
Calcular discriminante:
\Delta = 2^2 - 4\cdot2\cdot1 = 4 - 8 = -4.
\Delta<0, raízes complexas:
r=\frac{-2\pm\sqrt{-4}}{4}=\frac{-2\pm 2i}{4}=-\frac{1}{2}\pm \frac{1}{2}i.
Aqui \alpha=-\tfrac{1}{2} e \beta=\tfrac{1}{2}. Solução real:
y(x)=e^{-\tfrac{1}{2}x}\bigl(C_1\cos(\tfrac{1}{2}x)+C_2\sin(\tfrac{1}{2}x)\bigr).

Resposta

y(x)=(C_1 + C_2 x)e^{x}
y(x)=(C_1 + C_2 x)e^{x/3}
y(x)=C_1 e^{\tfrac{3}{2}x} + C_2 e^{-\tfrac{1}{2}x}
y(x)=(C_1 + C_2 x)e^{-\tfrac{3}{2}x}
y(x)=e^{x}\bigl(C_1\cos 3x + C_2\sin 3x\bigr)
y(x)=(C_1 + C_2 x)e^{3x}
y(x)=C_1 e^{-\tfrac{1}{4}x} + C_2 e^{-4x}
y(x)=(C_1 + C_2 x)e^{-\tfrac{3}{4}x}
y(x)=(C_1 + C_2 x)e^{\tfrac{2}{5}x}
y(x)=e^{-\tfrac{1}{2}x}\bigl(C_1\cos(\tfrac{1}{2}x)+C_2\sin(\tfrac{1}{2}x)\bigr)

Exercícios relacionados