Em cada um dos problemas de 1 a 10, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
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Passo 1
O enunciado pede: para cada uma das 10 equações diferenciais dadas, encontrar a solução geral. As equações fornecidas são (copiei exatamente do enunciado):
O objetivo é fornecer a solução geral
para cada uma delas.
Passo 2
Método que vou usar (explicado passo a passo, bem devagar e sem pular etapas).
-
Ideia básica: procurar soluções do tipo
. Isso é uma tentativa clássica porque derivadas de exponenciais trazem fatores simples: e . -
Substituindo
numa equação linear com coeficientes constantes resulta numa equação algébrica para , chamada equação característica. Se a equação diferencial tem a forma
a equação característica é
- Como resolver essa quadrática: usar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática)
O discriminante é
. Dependendo de
surgem três casos:
- Se
: duas raízes reais distintas e . Solução geral
- Se
: raiz real dupla . Solução geral
- Se
: raízes complexas conjugadas . Escrevendo a solução real em termos de senos e cossenos:
- Aqui
e são constantes arbitrárias que serão determinadas por condições iniciais (se houvessem). Ok, agora aplico esse procedimento para cada equação, uma por uma, mostrando todos os cálculos.
Passo 3
Equação 1:
Equação característica:
Calcular discriminante:
Como
temos raiz dupla. Calcular a raiz:
Solução geral (caso de raiz dupla):
Passo 4
Equação 2:
É mais simples dividir por
(ou montar diretamente a característica). Vou escrever a característica multiplicada por
:
Calcular discriminante:
Raiz dupla:
Solução geral:
Passo 5
Equação 3:
Equação característica:
Calcular discriminante:
Calcular separadamente:
Solução geral (raízes reais distintas):
Passo 6
Equação 4:
Equação característica:
Calcular discriminante:
Raiz dupla:
Solução geral (raiz dupla):
Passo 7
Equação 5:
Equação característica:
Calcular discriminante:
Como
temos raízes complexas. Calcular raízes:
Escrever em forma real usando
e
:
portanto
Passo 8
Equação 6:
Equação característica:
Calcular discriminante:
Raiz dupla:
Solução geral:
Passo 9
Equação 7:
Equação característica:
Calcular discriminante:
Calcular separadamente:
Solução geral:
Passo 10
Equação 8:
Equação característica:
Calcular discriminante:
Raiz dupla:
Solução geral:
Passo 11
Equação 9:
Equação característica:
Calcular discriminante:
Raiz dupla:
Solução geral:
Passo 12
Equação 10:
Equação característica:
Calcular discriminante:
Aqui
e
. Solução real: