Calcule os limites:
\lim _{t \rightarrow-2}\left(\frac{8+t^{3}}{t+2}, \frac{t^{2}-4}{t+2}\right);

Passo 1

O enunciado pede o limite do par ordenado \displaystyle\Bigl(\frac{8 + t^3}{t+2},\,\frac{t^2 - 4}{t+2}\Bigr)
quando t \to -2. Vamos usar limites de funções racionais, fatorando para cancelar o zero no denominador: soma de cubos no primeiro componente e diferença de quadrados no segundo.

Passo 2

Para o primeiro componente, note a soma de cubos:
t^3 + 8 = (t+2)\,(t^2 - 2t + 4).
Logo, para t\neq -2,
\frac{8 + t^3}{t+2} = \frac{(t+2)(t^2 - 2t + 4)}{t+2} = t^2 - 2t + 4.

Passo 3

Como t^2 - 2t + 4 é contínua, basta substituir t = -2:
(-2)^2 - 2(-2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12.
Logo, o primeiro componente do limite é 12.

Passo 4

Para o segundo componente, use diferença de quadrados:
t^2 - 4 = (t-2)(t+2).
Então, para t\neq -2,
\frac{t^2 - 4}{t+2} = \frac{(t-2)(t+2)}{t+2} = t - 2.

Passo 5

Substituindo t = -2 em t - 2
-2 - 2 = -4.
Portanto, o segundo componente do limite é -4.

Passo 6

Juntando os dois resultados, o limite do par ordenado é
(12,\,-4).

Resposta

(12,-4)

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