(0.5) Considere o problema de valor inicial
y^prime prime+2 omega y^prime+(omega^2+1) y=0, y(0)=1, y^prime(0)=0, onde omega in R
a) Determine as soluções complexas da EDO acima.
b) Determine duas soluções reais que formam um conjuto fundamental da EDO e consequentemente determine a solução geral y(t).
c) Resolva P.V.I para omega=1, e encontre um valor t0 tal que y(t0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2omega y' + (omega^2 + 1),y = 0,
determinando (a) as soluções complexas, (b) um conjunto fundamental de soluções reais e a solução geral, e (c) resolver o P.V.I. quando omega = 1 e achar t0>0 tal que y(t0)=0. Vamos usar o método do polinômio característico e, em seguida, usar combinação linear real.

Passo 2

Para achar as raízes do polinômio característico, substituímos y=e^rt. Isso gera
r^2 + 2omega r + (omega^2 + 1) = 0
O discriminante é
De<a = (2omega)^2 - 4cdot1cdot(omega^2+1) = 4omega^2 -4omega^2 -4 = -4

Passo 3

Como De<a = -4, as raízes são complexas conjugadas:
r = -2omega pm raiz-42 = -omega pm i
Logo, duas soluções complexas independentes da EDO são
e^(-omega + i)t e e^(-omega - i)t

Passo 4

Pela fórmula de Euler, podemos extrair soluções reais a partir das complexas. Um conjunto fundamental de soluções reais é
y1(t) = e^-omega tcos t, y2(t) = e^-omega tsin t

Passo 5

A solução geral da EDO é
y(t) = C1,e^-omega tcos t + C2,e^-omega tsin t,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 6

Para o P.V.I. com omega=1, temos
y(t) = e^-tl(C1cos t + C2sin tr)
As condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0 dão
y(0)=C1 = 1,
e
y'(t)=e^-tl((C2 - C1)cos t - (C1 + C2)sin tr),
logo
y'(0)=C2 - C1 = 0 implies C2 = C1 = 1
Assim,
y(t) = e^-t(cos t + sin t)

Passo 7

Queremos t0>0 tal que y(t0)=0, ou seja
cos t0 + sin t0 = 0 Longrightarrow tan t0 = -1
No primeiro quadrante positivo isso ocorre em
t0 = tfrac3pi4

Resposta

(a) As raízes do polinômio característico são
r = -omega pm i,
e as soluções complexas são e^(-omega + i)t e e^(-omega - i)t.
(b) Um conjunto fundamental de soluções reais é
y1(t) = e^-omega tcos t, y2(t) = e^-omega tsin t,
e a solução geral é
y(t) = C1,e^-omega tcos t + C2,e^-omega tsin t
(c) Para omega=1 e o P.V.I.,
y(t) = e^-t(cos t + sin t),
e o menor t0>0 com y(t0)=0 é
t0 = tfrac3pi4

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