(0.5) Considere o problema de valor inicial
a) Determine as soluções complexas da EDO acima.
b) Determine duas soluções reais que formam um conjuto fundamental da EDO e consequentemente determine a solução geral
.
c) Resolva P.V.I para
, e encontre um valor
tal que
.
b) Determine duas soluções reais que formam um conjuto fundamental da EDO e consequentemente determine a solução geral
c) Resolva P.V.I para
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
determinando (a) as soluções complexas, (b) um conjunto fundamental de soluções reais e a solução geral, e (c) resolver o P.V.I. quando
e achar
tal que
. Vamos usar o método do polinômio característico e, em seguida, usar combinação linear real.
Passo 2
Para achar as raízes do polinômio característico, substituímos
. Isso gera
O discriminante é
Passo 3
Como
, as raízes são complexas conjugadas:
Logo, duas soluções complexas independentes da EDO são
Passo 4
Pela fórmula de Euler, podemos extrair soluções reais a partir das complexas. Um conjunto fundamental de soluções reais é
Passo 5
A solução geral da EDO é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Para o P.V.I. com
, temos
As condições iniciais
e
dão
e
logo
Assim,
Passo 7
Queremos
tal que
, ou seja
No primeiro quadrante positivo isso ocorre em
Resposta
(a) As raízes do polinômio característico são
e as soluções complexas são
e
.
(b) Um conjunto fundamental de soluções reais é
e a solução geral é
(c) Para
e o P.V.I.,
e o menor
com
é