(0.5) Determine a solução geral de
y^prime prime+lambda^2 y=a sen(m pi t),
onde lambda>0, lambda neq m pi e a in R.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem
y'' + lambda^2 y = a sen(mpi t),
com lambda>0, lambdaneq mpi e ainR.
O conteúdo é resolução de equações com coeficientes constantes via soma da solução geral do homogêneo e de uma particular.

Passo 2

Calculamos primeiro a solução geral do homogêneo
y'' + lambda^2 y = 0
A equação característica é
r^2 + lambda^2 = 0
cuja raízes são r=pm ilambda. Logo a solução homogênea é
yh(t) = C1cos(lambda t) + C2sen(lambda t)

Passo 3

Para achar uma solução particular yp da equação completa, usamos o método de coeficientes indeterminados. Como o termo forçante é asen(mpi t), supomos
yp(t) = Asen(mpi t) + Bcos(mpi t),
com A e B a determinar.

Passo 4

Calculamos yp'':
yp''(t) = -A,(mpi)^2sen(mpi t) ;-; B,(mpi)^2cos(mpi t)
Substituindo em y''+lambda^2y:
yp'' + lambda^2 yp = l[A(lambda^2-(mpi)^2)r]sen(mpi t) + l[B(lambda^2-(mpi)^2)r]cos(mpi t)
Isso deve ser igual a asen(mpi t). Assim
B(lambda^2-(mpi)^2)=0, A(lambda^2-(mpi)^2)=a
Como lambdaneq mpi, segue B=0 e
A = alambda^2-(mpi)^2

Passo 5

Daí a solução particular é
yp(t) = alambda^2-(mpi)^2,sen(mpi t)
Somando-se à homogênea, obtemos a solução geral.

Resposta

y(t) = C1cos(lambda t) + C2sen(lambda t) + alambda^2 - (mpi)^2,sen(mpi t),
com C1,C2 constantes arbitrárias.

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