Assumindo alpha>0, determine a sua solução:
Escolha uma opção: y=15[(1+2 alpha) e^-2 t+(4-2 alpha) e^t2] y=15[(4+2 alpha) e^-2 t+(1+alpha) e^t]
Nenhuma das demais alternativas y=15[(1+2 alpha) e^-t+(1-2 alpha) e^t] y=15[(1-alpha) e^-2 t+(4-2 alpha) e^t2] y=15[(4-alpha) e^-t+(1+alpha) e^t2]
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial com uma equação diferencial de segunda ordem:
2 y'' + 3 y' - 2 y = 0
E as condições iniciais são:
y(0) = 1 e y'(0) = -alpha
Onde alpha > 0. Nosso objetivo é encontrar a solução y(t) que satisfaz essa equação e essas condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, precisamos resolver a equação diferencial característica associada à equação diferencial dada. A equação característica para uma equação diferencial de segunda ordem da forma a y'' + b y' + c y = 0 é:
a r^2 + b r + c = 0
No nosso caso, a = 2, b = 3 e c = -2. Então, a equação característica fica:
2 r^2 + 3 r - 2 = 0
Passo 3
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes r. Usamos a fórmula de Bhaskara: