Considere o problema de valor inicial:
l 2 y^prime prime+3 y^prime-2 y=0 y(0)=1 y^prime(0)=-alpha
Assumindo alpha>0, determine a sua solução:
Escolha uma opção:
y=15[(1+2 alpha) e^-2 t+(4-2 alpha) e^t2]
y=15[(4+2 alpha) e^-2 t+(1+alpha) e^t]
Nenhuma das demais alternativas
y=15[(1+2 alpha) e^-t+(1-2 alpha) e^t]
y=15[(1-alpha) e^-2 t+(4-2 alpha) e^t2]
y=15[(4-alpha) e^-t+(1+alpha) e^t2]

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial com uma equação diferencial de segunda ordem:
2 y'' + 3 y' - 2 y = 0
E as condições iniciais são:
y(0) = 1 e y'(0) = -alpha
Onde alpha > 0. Nosso objetivo é encontrar a solução y(t) que satisfaz essa equação e essas condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos resolver a equação diferencial característica associada à equação diferencial dada. A equação característica para uma equação diferencial de segunda ordem da forma a y'' + b y' + c y = 0 é:
a r^2 + b r + c = 0
No nosso caso, a = 2, b = 3 e c = -2. Então, a equação característica fica:
2 r^2 + 3 r - 2 = 0

Passo 3

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes r. Usamos a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Substituindo os valores:
r = -3 pm raiz3^2 - 4 cdot 2 cdot (-2)2 cdot 2 = -3 pm raiz9 + 164 = -3 pm raiz254 = -3 pm 54
Então, as raízes são:
r1 = 24 = 12 e r2 = -84 = -2

Passo 4

Como temos duas raízes reais e distintas r1 = 12 e r2 = -2, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t = C1 e^t2 + C2 e^-2 t
Onde C1 e C2 são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar a primeira condição inicial y(0) = 1:
y(0) = C1 e^0 + C2 e^0 = C1 + C2 = 1
Então, temos a equação:
C1 + C2 = 1 (Equação 1) çã

Passo 6

Agora, vamos derivar a solução geral para aplicar a segunda condição inicial y'(0) = -alpha. Derivando y(t):
y'(t) = 12 C1 e^t2 - 2 C2 e^-2 t
Aplicando t = 0:
y'(0) = 12 C1 - 2 C2 = -alpha
Então, temos a equação:
12 C1 - 2 C2 = -alpha (Equação 2) çã

Passo 7

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
C1 + C2 = 1 12 C1 - 2 C2 = -alpha
Vamos resolver esse sistema. Da Equação 1, podemos expressar C1 em termos de C2:
C1 = 1 - C2
Substituindo na Equação 2:
12 (1 - C2) - 2 C2 = -alpha 12 - 12 C2 - 2 C2 = -alpha 12 - 52 C2 = -alpha - 52 C2 = -alpha - 12 C2 = alpha + 1252 = 2alpha + 15
Então, substituindo C2 em C1 = 1 - C2:
C1 = 1 - 2alpha + 15 = 5 - 2alpha - 15 = 4 - 2alpha5

Passo 8

Agora que temos C1 e C2, substituímos de volta na solução geral:
y(t) = C1 e^t2 + C2 e^-2 t = 4 - 2alpha5 e^t2 + 2alpha + 15 e^-2 t
Podemos reescrever para deixar mais claro:
y(t) = 15 [ (2alpha + 1) e^-2 t + (4 - 2alpha) e^t2 ]

Resposta

y=15[(1+2 alpha) e^-2 t+(4-2 alpha) e^t2]

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