Determine a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial:
t^3 y^prime prime+t^2 y^prime+5 y=0
Escolha uma opção:
c e^t^2
Nenhuma das demais alternativas
c1+t^2
c e^tt
ct^2
ct

Passo 1

Beleza, temos aqui um exercício sobre equações diferenciais e Wronskiano. A gente precisa descobrir qual é a forma do Wronskiano de duas soluções da seguinte equação diferencial:
t^3 y'' + t^2 y' + 5 y = 0
Para resolver isso, vamos usar a fórmula de Abel que relaciona o Wronskiano com os coeficientes da equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação diferencial em uma forma mais comum, dividindo todos os termos por $ t^{3} $:
t^3
Simplificando, ficamos com:
y'' + t^2t^3 y' + 5t^3 y = 0
Essa é a forma padrão da equação diferencial linear de segunda ordem:
y'' + 1t y' + 5t^3 y = 0
Onde aqui, temos $ P(t) = \frac{1}{t} $.

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula de Abel para encontrar o Wronskiano $ W(t) $:
W(t)
Substituindo $ P(t) = \frac{1}{t} $:
W(t) = C exp( -integral P(t) , dt )

Passo 4

Calculando a integral:
integral 1t , dt = ln |t|
Então, temos:
W(t) = C e^- ln |t| = C t^-1 = Ct

Resposta

ct

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