Qual é a função do fator integrante na solução de equações diferenciais lineares de primeira ordem?

Passo 1

A questão trata da solução de equações diferenciais lineares de primeira ordem no formato y'+p(x)y=q(x) e pergunta qual é a função do fator integrante nesse processo.

Passo 2

Para resolver esse tipo de equação, a ideia é tornar o lado esquerdo em uma derivada exata. Como não temos uma equação exata à primeira vista, buscamos um multiplicador mu(x) que faça esse papel.

Passo 3

Definimos o fator integrante como
mu(x)=e^integral p(x),dx
Ao multiplicar toda a equação por mu(x), obtemos
mu(x)y'+mu(x)p(x)y=mu(x)q(x),
e o lado esquerdo passa a ser
ddxl(mu(x)yr)

Passo 4

Em seguida, basta integrar ambos os lados:
integralddxl(mu(x)yr),dx=integralmu(x)q(x),dx,
e resolver para y, chegando à solução geral.

Passo 5

Portanto, o fator integrante tem a função de transformar a equação diferencial linear de primeira ordem em uma equação exata, ou seja, na derivada de um produto, o que permite integrar facilmente ambos os lados. Com isso, conseguimos obter a solução geral da equação diferencial de forma sistemática.

Resposta

O fator integrante transforma o lado esquerdo da equação em uma derivada de produto (tornando-a exata), o que facilita a integração e, assim, permite obter a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem.

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