Qual é a função do fator integrante na solução de equações diferenciais lineares de primeira ordem?
Passo 1
A questão trata da solução de equações diferenciais lineares de primeira ordem no formato
e pergunta qual é a função do fator integrante nesse processo.
Passo 2
Para resolver esse tipo de equação, a ideia é tornar o lado esquerdo em uma derivada exata. Como não temos uma equação exata à primeira vista, buscamos um multiplicador
que faça esse papel.
Passo 3
Definimos o fator integrante como
Ao multiplicar toda a equação por
, obtemos
e o lado esquerdo passa a ser
Passo 4
Em seguida, basta integrar ambos os lados:
e resolver para
, chegando à solução geral.
Passo 5
Portanto, o fator integrante tem a função de transformar a equação diferencial linear de primeira ordem em uma equação exata, ou seja, na derivada de um produto, o que permite integrar facilmente ambos os lados. Com isso, conseguimos obter a solução geral da equação diferencial de forma sistemática.
Resposta
O fator integrante transforma o lado esquerdo da equação em uma derivada de produto (tornando-a exata), o que facilita a integração e, assim, permite obter a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem.