Qual o comportamento do valor mínimo ymin da solução y=y(t) quando beta aumenta indefinidamente?
Escolha uma opção: y min -infty y min infty
Nenhuma das demais alternativas y min log (32) y min 1 ymin 0
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício propõe resolver um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial ordinária de segunda ordem:
y'' + 5y' + 6y = 0
com as condições iniciais:
y(0) = 2 e y'(0) = beta
Nosso objetivo é descobrir como o valor mínimo da solução $ y_{\min} $ se comporta quando ymin aumenta indefinidamente. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e analisar o comportamento das soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea:
y'' + 5y' + 6y = 0
Para resolver esse tipo de equação, assumimos uma solução na forma $ y = e^{rt} $, onde $ r $ é uma constante que precisamos encontrar.
Passo 3
Substituindo $ y = e^{rt} $ na equação diferencial, temos:
y = e^rt
Podemos dividir todos os termos por $ e^{rt} $ (que nunca é zero):
r^2 e^rt + 5r e^rt + 6 e^rt = 0
Passo 4
Agora, resolvemos a equação quadrática $ r^2 + 5r + 6 = 0 $. Usando a fórmula de Bhaskara:
r^2 + 5r + 6 = 0
Portanto, as raízes são $ r_1 = -2 $ e $ r_2 = -3 $.
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^-2t + C2 e^-3t
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 6
Aplicando a primeira condição inicial $ y(0) = 2 $:
y(0) = 2
Passo 7
Agora, derivamos $ y(t) $ para aplicar a segunda condição inicial: