Considere o problema de valor inicial:
l y^prime prime+5 y^prime+6 y=0 y(0)=2 y^prime(0)=alpha
Qual o comportamento do valor mínimo ymin da solução y=y(t) quando beta aumenta indefinidamente?
Escolha uma opção:
y min -infty
y min infty
Nenhuma das demais alternativas
y min log (32)
y min 1
ymin 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício propõe resolver um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial ordinária de segunda ordem:
y'' + 5y' + 6y = 0
com as condições iniciais:
y(0) = 2 e y'(0) = beta
Nosso objetivo é descobrir como o valor mínimo da solução $ y_{\min} $ se comporta quando ymin aumenta indefinidamente. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e analisar o comportamento das soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea:
y'' + 5y' + 6y = 0
Para resolver esse tipo de equação, assumimos uma solução na forma $ y = e^{rt} $, onde $ r $ é uma constante que precisamos encontrar.

Passo 3

Substituindo $ y = e^{rt} $ na equação diferencial, temos:
y = e^rt
Podemos dividir todos os termos por $ e^{rt} $ (que nunca é zero):
r^2 e^rt + 5r e^rt + 6 e^rt = 0

Passo 4

Agora, resolvemos a equação quadrática $ r^2 + 5r + 6 = 0 $. Usando a fórmula de Bhaskara:
r^2 + 5r + 6 = 0
Portanto, as raízes são $ r_1 = -2 $ e $ r_2 = -3 $.

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^-2t + C2 e^-3t
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 6

Aplicando a primeira condição inicial $ y(0) = 2 $:
y(0) = 2

Passo 7

Agora, derivamos $ y(t) $ para aplicar a segunda condição inicial:
y(t)
Aplicando $ y’(0) = \beta $:
y'(t) = -2C1 e^-2t -3C2 e^-3t

Passo 8

Agora temos um sistema de equações:
C1 + C2 = 2 -2C1 -3C2 = beta
Resolvendo o sistema:
Multiplicamos a primeira equação por 2:
2C1 + 2C2 = 4
Somando com a segunda equação:
(2C1 + 2C2) + (-2C1 -3C2) = 4 + beta Rightarrow -C2 = 4 + beta Rightarrow C2 = -4 - beta
Substituindo $ C_2 $ na primeira equação:
C2

Passo 9

Agora, substituímos $ C_1 $ e $ C_2 $ na solução geral:
C1
Simplificando:
C2

Passo 10

Para encontrar o valor mínimo $ y_{\min} $, precisamos determinar o ponto onde a derivada de $ y(t) $ é zero, ou seja, onde $ y’(t) = 0 $.
Já sabemos que:
ymin
Igualando a zero:
y(t)
Resolvendo para $ t $:
y'(t) = 0
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
y'(t) = -2(6 + beta)e^-2t + 3(4 + beta)e^-3t

Passo 11

Agora, substituímos $ t $ de volta na expressão de $ y(t) $ para encontrar $ y_{\min} $:
t
Simplificando usando propriedades dos logaritmos:
y(t)

Passo 12

Analisando o comportamento de $ y_{\min} $ quando $ \beta $ tende ao infinito, observamos que os termos dominantes serão aqueles com $ \beta $.
Simplificando:
ymin
beta
À medida que $ \beta $ aumenta indefinidamente, $ y_{\min} $ também tende a infinito.

Resposta

$ y_{\min} \rightarrow -\infty $

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