Para qual valor de t a solução y=y(t) assume o valor mínimo?
Escolha uma opção: ln [23(4+alpha6-alpha)]
Nenhuma das demais alternativas ln [32(4-alpha6-alpha)] ln [427 (6-alpha)^3(4+alpha)^2] ln [32(4+alpha6+alpha)] ln [427 (6+alpha)^3(4+alpha)^2]
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial com uma equação diferencial de segunda ordem:
l y'' + 5 y' + 6 y = 0 y(0) = 2 y'(0) = alpha
Queremos descobrir para qual valor de $ t $ a solução $ y(t) $ atinge seu valor mínimo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem e análise de funções para encontrar extremos.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial:
y'' + 5 y' + 6 y = 0
Essa é uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes. A gente resolve encontrando as raízes da equação característica associada.
Passo 3
A equação característica é:
r^2 + 5 r + 6 = 0
Vamos resolver essa equação do segundo grau para achar os valores de $ r $.
Passo 4
Resolvendo a equação $ r^2 + 5 r + 6 = 0 $:
r^2 + 5 r + 6 = 0
Então, as raízes são:
r = -5 pm raiz25 - 242 = -5 pm 12
Passo 5
Com as raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^-2 t + C2 e^-3 t
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Aplicando a condição inicial $ y(0) = 2 $:
y(0) = 2
Então, temos:
2 = C1 e^0 + C2 e^0 2 = C1 + C2 çã
Passo 7
Agora, vamos encontrar $ y’(t) $ para usar a condição $ y’(0) = \alpha $:
y'(t)
Aplicando $ t = 0 $:
y'(0) = alpha
Então:
y'(t) = -2 C1 e^-2 t - 3 C2 e^-3 t çã
Passo 8
Agora, temos um sistema de duas equações:
C1 + C2 = 2 -2 C1 - 3 C2 = alpha
Vamos resolver esse sistema para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.