Considere o problema de valor inicial:
l y^prime prime+5 y^prime+6 y=0 y(0)=2 y^prime(0)=alpha
Para qual valor de t a solução y=y(t) assume o valor mínimo?
Escolha uma opção:
ln [23(4+alpha6-alpha)]
Nenhuma das demais alternativas
ln [32(4-alpha6-alpha)]
ln [427 (6-alpha)^3(4+alpha)^2]
ln [32(4+alpha6+alpha)]
ln [427 (6+alpha)^3(4+alpha)^2]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial com uma equação diferencial de segunda ordem:
l y'' + 5 y' + 6 y = 0 y(0) = 2 y'(0) = alpha
Queremos descobrir para qual valor de $ t $ a solução $ y(t) $ atinge seu valor mínimo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem e análise de funções para encontrar extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial:
y'' + 5 y' + 6 y = 0
Essa é uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes. A gente resolve encontrando as raízes da equação característica associada.

Passo 3

A equação característica é:
r^2 + 5 r + 6 = 0
Vamos resolver essa equação do segundo grau para achar os valores de $ r $.

Passo 4

Resolvendo a equação $ r^2 + 5 r + 6 = 0 $:
r^2 + 5 r + 6 = 0
Então, as raízes são:
r = -5 pm raiz25 - 242 = -5 pm 12

Passo 5

Com as raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^-2 t + C2 e^-3 t
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Aplicando a condição inicial $ y(0) = 2 $:
y(0) = 2
Então, temos:
2 = C1 e^0 + C2 e^0 2 = C1 + C2 çã

Passo 7

Agora, vamos encontrar $ y’(t) $ para usar a condição $ y’(0) = \alpha $:
y'(t)
Aplicando $ t = 0 $:
y'(0) = alpha
Então:
y'(t) = -2 C1 e^-2 t - 3 C2 e^-3 t çã

Passo 8

Agora, temos um sistema de duas equações:
C1 + C2 = 2 -2 C1 - 3 C2 = alpha
Vamos resolver esse sistema para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.

Passo 9

Da equação 1: $ C_1 = 2 - C_2 $.
Substituindo na equação 2:
C1 = 2 - C2
E então:
-2 (2 - C2) - 3 C2 = alpha -4 + 2 C2 - 3 C2 = alpha -4 - C2 = alpha C2 = -4 - alpha

Passo 10

Agora, substituindo $ C_1 $ e $ C_2 $ na solução geral:
C1

Passo 11

Para encontrar o valor mínimo de $ y(t) $, precisamos encontrar o ponto onde a derivada $ y’(t) $ é zero.
Já tínhamos $ y’(t) = -2 (6 + \alpha) e^{-2 t} - 3 (-4 - \alpha) e^{-3 t} $.
Vamos igualar a zero:
y(t)

Passo 12

Rearranjando a equação:
2 (6 + alpha) e^-2 t = 3 (4 + alpha) e^-3 t
Dividindo ambos os lados por $ e^{-3 t} $:
e^-3 t

Passo 13

Resolvendo para $ e^{t} $:
e^t

Passo 14

Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para $ t $:
t

Passo 15

Simplificando a expressão dentro do logaritmo:
t = ln [ 32 ( 4 + alpha6 + alpha ) ]

Resposta

A solução assume o valor mínimo para
t = ln [32(4+alpha6+alpha)]

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