Considere o problema de valor inicial (PVI)
(a) (1,0 ponto) Encontre a soluçåo do PVI.
(b) (1,0 ponto) A solução possui pontos de máximo ou mínimo? Justifique.
(b) (1,0 ponto) A solução possui pontos de máximo ou mínimo? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
O que é pedido:
- (a) Encontrar a solução do PVI (a função
que satisfaz a EDO e a condição inicial). - (b) Verificar se essa solução possui pontos de máximo ou mínimo e justificar a resposta.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação relaciona
, e . - A condição inicial é
, ou seja, no ponto a solução vale .
Passo 2
Identificar o método e por quê (aula rápida): a equação é separável porque conseguimos escrever todos os termos em
de um lado e todos os termos em
do outro. Uma EDO é separável quando pode ser escrita na forma
então podemos rearranjar para
e integrar ambos os lados. Aqui temos
Explicando: multiplicamos ambos os lados por
(assumindo
no intervalo em que a solução é definida) e por
para separar as variáveis. Agora integramos ambos os lados. Esta técnica é ótima na prova porque é direta e só exige integrais básicas.
Passo 3
Integrar ambos os lados (passo a passo da integral): calcular
- Para a esquerda:
. Justificativa: . - Para a direita:
.
Igualando as integrais (colocando uma constante só do lado direito) obtemos
Multiplicando por
para simplificar, definindo
,
Agora aplicamos a condição inicial
. Substituindo
e
na relação acima,
Portanto a relação explícita é
Como a condição inicial dá
, escolhemos o ramo positivo da raiz quadrada (no problema de valor inicial a solução é a função que passa por
). Assim a solução explícita no intervalo maximal onde a expressão sob a raiz é positiva é
Observação sobre domínio: a solução existe enquanto o radicando
for positivo. Não é necessário achar explicitamente onde
para responder (a), mas fica claro que existe um maior intervalo aberto contendo
onde
e aí a fórmula acima define a solução.
Passo 4
Analisar existência de máximos ou mínimos (aula rápida sobre extremos): um ponto interior
da curva
é crítico se
ou
não está definida. Para um extremo interior, normalmente
é condição necessária. Aqui usamos a equação original para estudar
.
Pela EDO original, para qualquer
onde a solução está definida (isto é, onde
),
Note que o numerador
é sempre estritamente positivo para todo
(porque
e
). Para a nossa solução, escolhemos o ramo positivo então
enquanto estamos no domínio. Assim o quociente
é sempre estritamente positivo no domínio da solução. Conclusão:
para todo
onde a solução está definida.
Isto significa que a função é estritamente crescente no seu domínio — portanto não há pontos interiores onde
, logo não há pontos de máximo ou mínimo locais no interior do domínio.
Comentário sobre
: se em algum ponto limite do domínio o radicando
chegasse a zero (ou seja, se a solução se estendesse até um
com
), aí
seria indefinido naquele ponto e poderia ser um extremo de fronteira (valor mínimo global
). Mas, dado que a condição inicial impõe
e que para todo
em um intervalo contendo
tem-se
e
, não existem extremos internos; qualquer mínimo absoluto igual a
ocorreria somente se o domínio maximal da solução incluísse um ponto onde
, o que é questão de extensão do domínio e não é pedido aqui. Para a resposta típica de prova, a conclusão principal é que não existem máximos nem mínimos interiores porque
sempre.
Resposta
(a)
(b) Não: a solução não possui pontos de máximo nem mínimo no interior do seu domínio, pois para todo
onde a solução está definida.
(b) Não: a solução não possui pontos de máximo nem mínimo no interior do seu domínio, pois