Considere o problema de valor inicial (PVI)
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+1}{y}, y(0)=2 .
(a) (1,0 ponto) Encontre a soluçåo do PVI.
(b) (1,0 ponto) A solução possui pontos de máximo ou mínimo? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}+1}{y},\qquad y(0)=2.
O que é pedido:
  • (a) Encontrar a solução do PVI (a função y(x) que satisfaz a EDO e a condição inicial).
  • (b) Verificar se essa solução possui pontos de máximo ou mínimo e justificar a resposta.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação relaciona dy/dx, x e y.
  • A condição inicial é y(0)=2, ou seja, no ponto x=0 a solução vale 2.

Passo 2

Identificar o método e por quê (aula rápida): a equação é separável porque conseguimos escrever todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro. Uma EDO é separável quando pode ser escrita na forma
\frac{dy}{dx}=g(x)\,h(y),
então podemos rearranjar para h(y)^{-1} dy = g(x)\,dx e integrar ambos os lados. Aqui temos
\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}+1}{y} \quad\Longrightarrow\quad y\,dy=(x^{2}+1)\,dx.
Explicando: multiplicamos ambos os lados por y (assumindo y\neq0 no intervalo em que a solução é definida) e por dx para separar as variáveis. Agora integramos ambos os lados. Esta técnica é ótima na prova porque é direta e só exige integrais básicas.

Passo 3

Integrar ambos os lados (passo a passo da integral): calcular
\int y\,dy \quad\text{e}\quad \int (x^{2}+1)\,dx.
  • Para a esquerda: \int y\,dy=\dfrac{y^{2}}{2}. Justificativa: \int y\,dy=\int y^{1}\,dy=\dfrac{y^{2}}{2}+C.
  • Para a direita: \int (x^{2}+1)\,dx=\int x^{2}\,dx+\int 1\,dx=\dfrac{x^{3}}{3}+x + C.
Igualando as integrais (colocando uma constante só do lado direito) obtemos
\frac{y^{2}}{2}=\frac{x^{3}}{3}+x+C.
Multiplicando por 2 para simplificar, definindo C' = 2C,
y^{2}=\frac{2}{3}x^{3}+2x+C'.
Agora aplicamos a condição inicial y(0)=2. Substituindo x=0 e y=2 na relação acima,
2^{2}=4=\frac{2}{3}\cdot0^{3}+2\cdot0+C' \quad\Rightarrow\quad C'=4.
Portanto a relação explícita é
y^{2}=\frac{2}{3}x^{3}+2x+4.
Como a condição inicial dá y(0)=2>0, escolhemos o ramo positivo da raiz quadrada (no problema de valor inicial a solução é a função que passa por y(0)=2). Assim a solução explícita no intervalo maximal onde a expressão sob a raiz é positiva é
y(x)=\sqrt{\frac{2}{3}x^{3}+2x+4}.
Observação sobre domínio: a solução existe enquanto o radicando
g(x):=\frac{2}{3}x^{3}+2x+4
for positivo. Não é necessário achar explicitamente onde g(x)=0 para responder (a), mas fica claro que existe um maior intervalo aberto contendo x=0 onde g(x)>0 e aí a fórmula acima define a solução.

Passo 4

Analisar existência de máximos ou mínimos (aula rápida sobre extremos): um ponto interior x_{0} da curva y(x) é crítico se y'(x_{0})=0 ou y' não está definida. Para um extremo interior, normalmente y'(x_{0})=0 é condição necessária. Aqui usamos a equação original para estudar y'.
Pela EDO original, para qualquer x onde a solução está definida (isto é, onde y(x)\neq0),
\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}+1}{y(x)}.
Note que o numerador x^{2}+1 é sempre estritamente positivo para todo x (porque x^{2}\ge0 e x^{2}+1\ge1). Para a nossa solução, escolhemos o ramo positivo então y(x)>0 enquanto estamos no domínio. Assim o quociente \dfrac{x^{2}+1}{y(x)} é sempre estritamente positivo no domínio da solução. Conclusão: y'(x)>0 para todo x onde a solução está definida.
Isto significa que a função é estritamente crescente no seu domínio — portanto não há pontos interiores onde y'(x)=0, logo não há pontos de máximo ou mínimo locais no interior do domínio.
Comentário sobre y=0: se em algum ponto limite do domínio o radicando g(x) chegasse a zero (ou seja, se a solução se estendesse até um x com y=0), aí y' seria indefinido naquele ponto e poderia ser um extremo de fronteira (valor mínimo global 0). Mas, dado que a condição inicial impõe y(0)=2>0 e que para todo x em um intervalo contendo 0 tem-se y(x)>0 e y'(x)>0, não existem extremos internos; qualquer mínimo absoluto igual a 0 ocorreria somente se o domínio maximal da solução incluísse um ponto onde g(x)=0, o que é questão de extensão do domínio e não é pedido aqui. Para a resposta típica de prova, a conclusão principal é que não existem máximos nem mínimos interiores porque y'(x)>0 sempre.

Resposta

(a) y(x)=\sqrt{\dfrac{2}{3}x^{3}+2x+4}.
(b) Não: a solução não possui pontos de máximo nem mínimo no interior do seu domínio, pois \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x^{2}+1}{y(x)}>0 para todo x onde a solução está definida.

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