(2,0 pontos) Encontre a soluçăo do problema de valor inicial (PVI)
y^{\prime}+\frac{3}{t} y=\frac{\operatorname{sen} t}{t^{2}}, \quad y(\pi)=1, \quad t>0 .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Enunciado: a equação diferencial com condição inicial é
y^{\prime}+\frac{3}{t}y=\frac{\sin t}{t^{2}},\qquad t>0,
com a condição inicial
y(\pi)=1.
  • O que se pede: encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial para t>0 e a condição y(\pi)=1.

Passo 2

Que método vamos usar e por quê (explicação didática do conceito).
A equação tem a forma
y'(t)+P(t)\,y(t)=Q(t),
onde aqui P(t)=\dfrac{3}{t} e Q(t)=\dfrac{\sin t}{t^{2}}. Para equações lineares de primeira ordem assim existe um método padrão: fator integrante (integrating factor). A ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(t) tal que o lado esquerdo vire a derivada de \mu(t)y(t). O fator integrante é dado por
\mu(t)=\exp\!\left(\int P(t)\,dt\right).
Explicando: \mu(t) é escolhida para que \mu(t)y(t) tenha derivada \mu(t)y'(t)+\mu(t)P(t)y(t), que é exatamente o lado esquerdo após multiplicar por \mu.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(t).
Aqui P(t)=\dfrac{3}{t}, então
\mu(t)=\exp\!\left(\int \frac{3}{t}\,dt\right)=\exp\!\left(3\ln t\right)=t^{3},
válido para t>0 (por isso o enunciado exige t>0). Portanto multiplicamos a equação original por t^{3}.

Passo 4

Multiplicar a equação por t^{3} e reconhecer a forma exata.
Multiplicando, obtemos
t^{3}y'+t^{3}\cdot\frac{3}{t}y=t^{3}\cdot\frac{\sin t}{t^{2}}.
Simplificando o segundo termo do lado esquerdo e o lado direito:
t^{3}y'+3t^{2}y = t\sin t.
Pelo propósito do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada de t^{3}y, isto é,
\big(t^{3}y\big)'=t\sin t.

Passo 5

Integrar para obter a solução geral (introdução e execução da integração por partes).
Integramos ambos os lados em relação a t:
t^{3}y=\int t\sin t\,dt + C,
onde C é constante de integração. Para calcular \int t\sin t\,dt usamos integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes: para u e v funções suaves,
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolhemos u=t (logo du=dt) e dv=\sin t\,dt (logo v=-\cos t). Assim
\int t\sin t\,dt = -t\cos t - \int(-\cos t)\,dt = -t\cos t + \int \cos t\,dt = -t\cos t + \sin t + \text{const}.
Retornando ao passo anterior, podemos escrever a solução geral (antes de aplicar a condição inicial) como
t^{3}y = -t\cos t + \sin t + C.

Passo 6

Aplicar a condição inicial para determinar a constante C.
A condição é y(\pi)=1. Substituindo t=\pi na expressão geral:
\pi^{3}\cdot y(\pi)=\pi^{3}\cdot 1 = \pi^{3}.
Pelo lado direito,
-t\cos t + \sin t + C\Big|_{t=\pi} = -\pi\cos\pi + \sin\pi + C.
Como \cos\pi=-1 e \sin\pi=0, isso é
-\pi\cdot(-1) + 0 + C = \pi + C.
Igualando com \pi^{3}
\pi + C = \pi^{3}\quad\Rightarrow\quad C=\pi^{3}-\pi.
Com C encontrado, substitui-se na expressão t^{3}y = -t\cos t + \sin t + C e divide-se por t^{3} para obter a solução particular que satisfaz a condição inicial.

Resposta

y(t)=\frac{-t\cos t+\sin t+\pi^{3}-\pi}{t^{3}},\qquad t>0

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