O que se pede: encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial para t>0 e a condição y(\pi)=1.
Passo 2
Que método vamos usar e por quê (explicação didática do conceito).
A equação tem a forma
y'(t)+P(t)\,y(t)=Q(t),
onde aqui P(t)=\dfrac{3}{t} e Q(t)=\dfrac{\sin t}{t^{2}}. Para equações lineares de primeira ordem assim existe um método padrão: fator integrante (integrating factor). A ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(t) tal que o lado esquerdo vire a derivada de \mu(t)y(t). O fator integrante é dado por
\mu(t)=\exp\!\left(\int P(t)\,dt\right).
Explicando: \mu(t) é escolhida para que \mu(t)y(t) tenha derivada \mu(t)y'(t)+\mu(t)P(t)y(t), que é exatamente o lado esquerdo após multiplicar por \mu.
Simplificando o segundo termo do lado esquerdo e o lado direito:
t^{3}y'+3t^{2}y = t\sin t.
Pelo propósito do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada de t^{3}y, isto é,
\big(t^{3}y\big)'=t\sin t.
Passo 5
Integrar para obter a solução geral (introdução e execução da integração por partes).
Integramos ambos os lados em relação a t:
t^{3}y=\int t\sin t\,dt + C,
onde C é constante de integração. Para calcular \int t\sin t\,dt usamos integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes: para u e v funções suaves,
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolhemos u=t (logo du=dt) e dv=\sin t\,dt (logo v=-\cos t). Assim
\int t\sin t\,dt = -t\cos t - \int(-\cos t)\,dt = -t\cos t + \int \cos t\,dt = -t\cos t + \sin t + \text{const}.
Retornando ao passo anterior, podemos escrever a solução geral (antes de aplicar a condição inicial) como
t^{3}y = -t\cos t + \sin t + C.
Passo 6
Aplicar a condição inicial para determinar a constante C.
A condição é y(\pi)=1. Substituindo t=\pi na expressão geral:
\pi^{3}\cdot y(\pi)=\pi^{3}\cdot 1 = \pi^{3}.
Pelo lado direito,
-t\cos t + \sin t + C\Big|_{t=\pi} = -\pi\cos\pi + \sin\pi + C.
Como \cos\pi=-1 e \sin\pi=0, isso é
-\pi\cdot(-1) + 0 + C = \pi + C.
Igualando com \pi^{3} dá
\pi + C = \pi^{3}\quad\Rightarrow\quad C=\pi^{3}-\pi.
Com C encontrado, substitui-se na expressão t^{3}y = -t\cos t + \sin t + C e divide-se por t^{3} para obter a solução particular que satisfaz a condição inicial.