Um reservatório contém inicialmente 400 litros de água limpa. A partir do instante
, começa a entrar no reservatório uma solução contendo um produto químico a uma taxa de 3 litros por minuto, com concentraçio de 2 quilos por litro. Simultaneamente, a mistura homogénea no reservatório sai a uma taxa de 2 litros por minuto.
(a) ( 1,0 ponto) Determine o problema de valor inicial (PVI) que descreve a quantidade
do produto quimico no reservatório no instante e.
(b) ( 1,0 ponto) Resolva o PVI.
(c) ( 1.0 ponto) Determine a quantidade de produto químico no reservatório no instante em que o volume atingir 1000 litros.
(a) ( 1,0 ponto) Determine o problema de valor inicial (PVI) que descreve a quantidade
(b) ( 1,0 ponto) Resolva o PVI.
(c) ( 1.0 ponto) Determine a quantidade de produto químico no reservatório no instante em que o volume atingir 1000 litros.
Passo 1
O enunciado dá estas informações (todas as quantidades de fluxo são em litros por minuto e massas em quilogramas):
- Volume inicial do reservatório:
litros. - A partir de
entra solução à taxa de L/min com concentração kg/L. - Sai mistura homogênea à taxa de
L/min. - A incógnita é
, a quantidade de produto químico no reservatório em kg no instante (minutos).
O que é pedido:
(a) escrever o problema de valor inicial (PVI) para;
(b) resolver esse PVI;
(c) calcularquando o volume do reservatório atingir litros.
Passo 2
Vamos montar a equação diferencial usando a ideia básica: variação da quantidade = entrada − saída. Primeiro obtenho o volume do tanque em função do tempo. A vazão líquida é entrada menos saída:
L/min, então o volume varia assim:
Taxa de entrada de massa (kg/min): concentração × vazão de entrada,
Taxa de saída de massa (kg/min): a concentração dentro do tanque é
(kg por litro), multiplicada pela vazão de saída
L/min, logo
Portanto a equação diferencial é
Condição inicial (água limpa no início) é
Isto completa o PVI pedido em (a).
Passo 3
Agora resolvo o PVI. Escrevo a equação na forma linear padrão:
Aqui
e
. Uso o fator integrante
. Calculo:
logo
Multiplico a equação original por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto
. Assim
Integro em
:
onde
é constante de integração. Portanto
Uso
para achar
. Para
:
Assim
Substituindo
,
Posso também escrever de forma expandida:
Isto responde (b).
Passo 4
Agora respondo (c): quando o volume atingir
litros, temos
Calculo
:
Compute passo a passo:
e
, então
Portanto
Resposta
(a)
(b)
(c)