Um reservatório contém inicialmente 400 litros de água limpa. A partir do instante t=0, começa a entrar no reservatório uma solução contendo um produto químico a uma taxa de 3 litros por minuto, com concentraçio de 2 quilos por litro. Simultaneamente, a mistura homogénea no reservatório sai a uma taxa de 2 litros por minuto.
(a) ( 1,0 ponto) Determine o problema de valor inicial (PVI) que descreve a quantidade Q(t)(\mathrm{em} \mathrm{Kg}) do produto quimico no reservatório no instante e.
(b) ( 1,0 ponto) Resolva o PVI.
(c) ( 1.0 ponto) Determine a quantidade de produto químico no reservatório no instante em que o volume atingir 1000 litros.

Passo 1

O enunciado dá estas informações (todas as quantidades de fluxo são em litros por minuto e massas em quilogramas):
  • Volume inicial do reservatório: 400 litros.
  • A partir de t=0 entra solução à taxa de 3 L/min com concentração 2 kg/L.
  • Sai mistura homogênea à taxa de 2 L/min.
  • A incógnita é Q(t), a quantidade de produto químico no reservatório em kg no instante t (minutos).
    O que é pedido:
    (a) escrever o problema de valor inicial (PVI) para Q(t);
    (b) resolver esse PVI;
    (c) calcular Q(t) quando o volume do reservatório atingir 1000 litros.

Passo 2

Vamos montar a equação diferencial usando a ideia básica: variação da quantidade = entrada − saída. Primeiro obtenho o volume do tanque em função do tempo. A vazão líquida é entrada menos saída: 3-2=1 L/min, então o volume varia assim:
V(t)=400 + t\quad\text{(litros)}.
Taxa de entrada de massa (kg/min): concentração × vazão de entrada,
\text{taxa\_in} = 2\\ \text{kg/L} \times 3\\ \text{L/min} = 6\\ \text{kg/min}.
Taxa de saída de massa (kg/min): a concentração dentro do tanque é \dfrac{Q(t)}{V(t)} (kg por litro), multiplicada pela vazão de saída 2 L/min, logo
\text{taxa\_out} = 2\cdot \frac{Q(t)}{V(t)} = \frac{2Q(t)}{400+t}.
Portanto a equação diferencial é
\frac{dQ}{dt} = 6 - \frac{2Q}{400+t}.
Condição inicial (água limpa no início) é
Q(0)=0.
Isto completa o PVI pedido em (a).

Passo 3

Agora resolvo o PVI. Escrevo a equação na forma linear padrão:
\frac{dQ}{dt} + \frac{2}{400+t}\,Q = 6.
Aqui p(t)=\dfrac{2}{400+t} e g(t)=6. Uso o fator integrante \mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right). Calculo:
\int \frac{2}{400+t}\,dt = 2\ln(400+t),
logo
\mu(t)=e^{2\ln(400+t)}=(400+t)^2.
Multiplico a equação original por \mu(t):
(400+t)^2\frac{dQ}{dt} + 2(400+t)Q = 6(400+t)^2.
O lado esquerdo é a derivada do produto \dfrac{d}{dt}\big[(400+t)^2 Q\big]. Assim
\frac{d}{dt}\big[(400+t)^2 Q\big] = 6(400+t)^2.
Integro em t:
(400+t)^2 Q = \int 6(400+t)^2\,dt = 6\cdot\frac{(400+t)^3}{3} + C = 2(400+t)^3 + C,
onde C é constante de integração. Portanto
Q(t) = \frac{2(400+t)^3 + C}{(400+t)^2} = 2(400+t) + \frac{C}{(400+t)^2}.
Uso Q(0)=0 para achar C. Para t=0:
0 = Q(0) = 2\cdot 400 + \frac{C}{400^2} = 800 + \frac{C}{160000}.
Assim
\frac{C}{160000} = -800 \quad\Rightarrow\quad C = -800\times 160000 = -128000000.
Substituindo C,
Q(t) = 2(400+t) - \frac{128000000}{(400+t)^2}.
Posso também escrever de forma expandida:
Q(t)=800 + 2t - \frac{128000000}{(400+t)^2}.
Isto responde (b).

Passo 4

Agora respondo (c): quando o volume atingir 1000 litros, temos
V(t)=400+t=1000 \quad\Rightarrow\quad t=600\\ \text{min}.
Calculo Q(600):
Q(600)=800 + 2\cdot 600 - \frac{128000000}{(400+600)^2}.
Compute passo a passo:
800 + 2\cdot 600 = 800 + 1200 = 2000,
e (400+600)^2 = 1000^2 = 1000000, então
\frac{128000000}{1000000} = 128.
Portanto
Q(600)=2000 - 128 = 1872\\ \text{kg}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dQ}{dt}=6-\frac{2Q}{400+t},\quad Q(0)=0.
(b) \displaystyle Q(t)=2(400+t)-\frac{128000000}{(400+t)^2}=800+2t-\frac{128000000}{(400+t)^2}.
(c) \displaystyle Q(600)=1872\\ \text{kg}.

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