(2.5) Considere o problema de valor inicial (PVI):
\left\{\begin{array}{l} \left(1+x^{2}\right) y^{\prime \prime}+2 x y^{\prime}-2 y=0 \\\ y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1 \end{array}\right.
Ache a solução geral da EDO e determine seu raio de convergência. Resolva o PVI.

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que foi dado).
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} \left(1+x^{2}\right) y^{\prime \prime}+2 x y^{\prime}-2 y=0,\\\ y(0)=0,\quad y^{\prime}(0)=1. \end{array}\right.
Perguntas a responder:
  1. Achar a solução geral da EDO.
  2. Determinar o raio de convergência da série solução centrada em x=0.
  3. Resolver o PVI com as condições iniciais dadas.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação é linear, homogênea, de segunda ordem com coeficientes polinomiais.
  • O coeficiente de y^{\prime\prime} é 1+x^{2}, que anula-se em x=\pm i no plano complexo (importante para o raio de convergência).
  • Não há mais dados ocultos; podemos usar métodos de séries ou redução de ordem se já conhecermos uma solução.

Passo 2

Reescrever a EDO em forma padrão e observar singularidades (motivação para o raio de convergência).
Dividindo a equação por 1+x^{2} (válido onde 1+x^2\neq0) obtemos a forma padrão
y''+\frac{2x}{1+x^{2}}\,y'-\frac{2}{1+x^{2}}\,y=0.
Aqui o termo P(x)=\dfrac{2x}{1+x^{2}} e Q(x)=-\dfrac{2}{1+x^{2}} são funções racionais que são analíticas em todo \mathbb{C} exceto em x=\pm i. Portanto x=0 é um ponto ordinário e as soluções em série em torno de 0 têm raio de convergência igual à distância do centro até a singularidade mais próxima, isto é |i|=1. Assim a expectativa é que o raio de convergência seja 1. Vou confirmar isso explicitamente mais adiante.

Passo 3

Tentativa por série de potências em torno de x=0; montar a recorrência de coeficientes.
Procuramos solução em série
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n}.
Então
y'(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1}x^{n},\qquad y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n}.
Substituindo na equação (1+x^{2})y''+2x y'-2y=0 obtemos
\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2}x^n +\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n x^n +2\sum_{n=1}^\infty n a_n x^n -2\sum_{n=0}^\infty a_n x^n =0.
Agora igualamos coeficientes de cada potência x^n a zero.

Passo 4

Encontrar a relação de recorrência e tratar casos baixos de n.
Coeficiente de x^0 (n=0):
2a_2-2a_0=0 \quad\Rightarrow\quad a_2=a_0.
Coeficiente de x^1 (n=1):
6a_3+2a_1-2a_1=6a_3=0\quad\Rightarrow\quad a_3=0.
Para n\ge 2 obtemos (somando termos)
(n+2)(n+1)a_{n+2}+\big(n(n-1)+2n-2\big)a_n=0.
Simplificando o coeficiente entre parênteses:
n(n-1)+2n-2=n^2+n-2=(n+2)(n-1).
Logo a recorrência fica
(n+2)(n+1)a_{n+2}+(n+2)(n-1)a_n=0,
que simplifica, dividindo por (n+2),
(n+1)a_{n+2}+(n-1)a_n=0,
ou seja
\boxed{a_{n+2}=-\frac{n-1}{\,n+1\,}\,a_n\quad\text{para }n\ge2.}

Passo 5

Analisar a recorrência: duas sequências independentes (pares e ímpares) e identificar uma solução simples.
A recorrência liga a_{n+2} com a_n, portanto as paridades se separam:
  • Coeficientes pares a_{2k} são determinados por a_0.
  • Coeficientes ímpares a_{2k+1} são determinados por a_1.
Tomando a_0 livre e a_1 livre, obtemos duas soluções independentes. Vamos ver o que essas escolhas produzem.
Se escolhermos a_1\neq0 e a_0=0: do cálculo inicial vimos a_3=0; pela recorrência a_5 depende de a_3 e assim por diante, então todos os a_{2k+1}=0 para k\ge1. Com a_1 apenas o termo não-zero é a_1 x. Assim uma solução é
y_1(x)=x.
Verificação rápida: y_1'=1,\\ y_1''=0 e substituindo na EDO (1+x^2)\cdot0+2x\cdot1-2x=0, OK.
Se escolhermos a_0\neq0 e a_1=0: obtemos uma série de potências com potências pares. Calculando alguns termos com a recorrência:
a_2=a_0,\quad a_4=-\tfrac{1}{3}a_0,\quad a_6=\tfrac{1}{5}a_0,\\ \ldots
Logo a solução correspondente tem a forma
y_{\text{even}}(x)=a_0\Big(1+x^{2}-\tfrac{1}{3}x^{4}+\tfrac{1}{5}x^{6}-\cdots\Big).
Você pode reconhecer as razões \pm\frac{1}{2k+1} que aparecem na série da função \arctan x. Especificamente sabemos a série
\arctan x=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}\quad\text{para }|x|<1,
logo
x\arctan x = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{x^{2k+2}}{2k+1} = x^{2}-\tfrac{x^{4}}{3}+\tfrac{x^{6}}{5}-\cdots.
Portanto a série acima corresponde a
1+x^{2}-\tfrac{1}{3}x^{4}+\tfrac{1}{5}x^{6}-\cdots = 1 + x\arctan x.
Assim a solução associada a a_0=1 é
y_2(x)=1+x\arctan x.

Passo 6

Encontrar o segundo solucionador de forma direta por redução de ordem (confirmação e forma fechada).
Tendo encontrado y_1(x)=x, uso redução de ordem para achar y_2. A equação em forma padrão é
y''+P(x)y'+Q(x)y=0,\quad P(x)=\frac{2x}{1+x^2}.
A fórmula de redução de ordem dá uma segunda solução independente por
y_2(x)=y_1(x)\int \frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{y_1(x)^2}\,dx.
Calcule \int P(x)\,dx=\int \dfrac{2x}{1+x^2}\,dx=\ln(1+x^2). Então
e^{-\int P}=e^{-\ln(1+x^2)}=\frac{1}{1+x^2}.
Com y_1=x temos a integral
\int \frac{e^{-\int P}}{y_1^2}\,dx=\int \frac{1}{(1+x^2)x^2}\,dx.
Fazemos frações parciais:
\frac{1}{x^2(1+x^2)}=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{1+x^2}.
Integrando,
\int \left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{1+x^2}\right)dx=-\frac{1}{x}-\arctan x + C.
Multiplicando por y_1=x obtemos
y_2(x)=x\Big(-\frac{1}{x}-\arctan x + C\Big)=-1-x\arctan x + Cx.
Descartando a parte Cx (que é múltipla de y_1) e multiplicando por -1 para ficar com sinal agradável, obtemos a segunda solução independente
\boxed{y_2(x)=1+x\arctan x.}
Isto coincide com a soma da série obtida no passo anterior, confirmando a identificação.

Passo 7

Escrever a solução geral e determinar o raio de convergência da série em torno de 0.
A solução geral da EDO, sendo y_1 e y_2 independentes, é
\boxed{y(x)=C_1x + C_2\big(1+x\arctan x\big),}
com C_1,C_2\in\mathbb{R} (ou \mathbb{C}).
Quanto ao raio de convergência da série em volta de x=0: como os coeficientes P(x) e Q(x) da forma padrão têm singularidades em x=\pm i, a distância do centro 0 até a singularidade mais próxima é 1. Portanto a série de potências centrada em 0 que representa as soluções converge para |x|<1. Isso também concorda com a série de \arctan x, cuja validade é |x|<1 (e se estende condicionalmente a |x|=1 dependendo do ponto). Logo o raio de convergência é 1.

Passo 8

Resolver o PVI aplicando as condições iniciais.
A solução geral é
y(x)=C_1x + C_2(1+x\arctan x).
Aplicando y(0)=0
0=C_1\cdot 0 + C_2\cdot 1 \quad\Rightarrow\quad C_2=0.
Aplicando y'(x)=C_1 + C_2\big(\arctan x + \dfrac{x}{1+x^2}\big) e y'(0)=1 com C_2=0 obtemos
1=C_1.
Portanto os constantes fixam-se em C_1=1, C_2=0 e a solução do PVI é
\boxed{y(x)=x.}

Resposta

A solução geral é y(x)=C_{1}x+C_{2}\big(1+x\arctan x\big).
O raio de convergência da série solução centrada em 0 é 1.
A solução do PVI ( y(0)=0,\\ y'(0)=1) é y(x)=x.

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