(2.5) Considere o problema de valor inicial (PVI):
Ache a solução geral da EDO e determine seu raio de convergência. Resolva o PVI.
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que foi dado).
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
Perguntas a responder:
- Achar a solução geral da EDO.
- Determinar o raio de convergência da série solução centrada em
. - Resolver o PVI com as condições iniciais dadas.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação é linear, homogênea, de segunda ordem com coeficientes polinomiais.
- O coeficiente de
é , que anula-se em no plano complexo (importante para o raio de convergência). - Não há mais dados ocultos; podemos usar métodos de séries ou redução de ordem se já conhecermos uma solução.
Passo 2
Reescrever a EDO em forma padrão e observar singularidades (motivação para o raio de convergência).
Dividindo a equação por
(válido onde
) obtemos a forma padrão
Aqui o termo
e
são funções racionais que são analíticas em todo
exceto em
. Portanto
é um ponto ordinário e as soluções em série em torno de
têm raio de convergência igual à distância do centro até a singularidade mais próxima, isto é
. Assim a expectativa é que o raio de convergência seja
. Vou confirmar isso explicitamente mais adiante.
Passo 3
Tentativa por série de potências em torno de
; montar a recorrência de coeficientes.
Procuramos solução em série
Então
Substituindo na equação
obtemos
Agora igualamos coeficientes de cada potência
a zero.
Passo 4
Encontrar a relação de recorrência e tratar casos baixos de
.
Coeficiente de
(n=0):
Coeficiente de
(n=1):
Para
obtemos (somando termos)
Simplificando o coeficiente entre parênteses:
Logo a recorrência fica
que simplifica, dividindo por
,
ou seja
Passo 5
Analisar a recorrência: duas sequências independentes (pares e ímpares) e identificar uma solução simples.
A recorrência liga
com
, portanto as paridades se separam:
- Coeficientes pares
são determinados por . - Coeficientes ímpares
são determinados por .
Tomando
livre e
livre, obtemos duas soluções independentes. Vamos ver o que essas escolhas produzem.
Se escolhermos
e
: do cálculo inicial vimos
; pela recorrência
depende de
e assim por diante, então todos os
para
. Com
apenas o termo não-zero é
. Assim uma solução é
Verificação rápida:
e substituindo na EDO
, OK.
Se escolhermos
e
: obtemos uma série de potências com potências pares. Calculando alguns termos com a recorrência:
Logo a solução correspondente tem a forma
Você pode reconhecer as razões
que aparecem na série da função
. Especificamente sabemos a série
logo
Portanto a série acima corresponde a
Assim a solução associada a
é
Passo 6
Encontrar o segundo solucionador de forma direta por redução de ordem (confirmação e forma fechada).
Tendo encontrado
, uso redução de ordem para achar
. A equação em forma padrão é
A fórmula de redução de ordem dá uma segunda solução independente por
Calcule
. Então
Com
temos a integral
Fazemos frações parciais:
Integrando,
Multiplicando por
obtemos
Descartando a parte
(que é múltipla de
) e multiplicando por
para ficar com sinal agradável, obtemos a segunda solução independente
Isto coincide com a soma da série obtida no passo anterior, confirmando a identificação.
Passo 7
Escrever a solução geral e determinar o raio de convergência da série em torno de
.
A solução geral da EDO, sendo
e
independentes, é
com
(ou
).
Quanto ao raio de convergência da série em volta de
: como os coeficientes
e
da forma padrão têm singularidades em
, a distância do centro
até a singularidade mais próxima é
. Portanto a série de potências centrada em
que representa as soluções converge para
. Isso também concorda com a série de
, cuja validade é
(e se estende condicionalmente a
dependendo do ponto). Logo o raio de convergência é
.
Passo 8
Resolver o PVI aplicando as condições iniciais.
A solução geral é
Aplicando
dá
Aplicando
e
com
obtemos
Portanto os constantes fixam-se em
,
e a solução do PVI é
Resposta
A solução geral é
.
O raio de convergência da série solução centrada em
é
.
A solução do PVI (
) é
.