Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
f(x, y)=\frac{a x+b y}{c x+d y}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{a x + b y}{c x + d y}
e pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem: \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.
Informações relevantes fornecidas: a,b,c,d são constantes (não dependem de x nem de y) e devemos trabalhar no domínio onde o denominador não se anula, ou seja onde c x + d y \neq 0.

Passo 2

O que é uma derivada parcial? Vou explicar de forma simples e prática:
  • A derivada parcial de f em relação a x, escrita \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, é a taxa de variação de f quando só mexemos em x e mantemos y fixo. Formalmente isso é o limite
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
  • Analogamente, \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) é a taxa de variação quando só mexemos em y e mantemos x fixo.
Na prática, para funções racionais como a dada é mais rápido usar a regra do quociente considerando y constante ao derivar em relação a x (e vice‑versa). A regra do quociente para duas funções u e v de uma variável diz:
\frac{d}{dt}\left(\frac{u(t)}{v(t)}\right)=\frac{u'(t)\,v(t)-u(t)\,v'(t)}{[v(t)]^{2}}.
Aqui vamos aplicar essa fórmula pensando em t=x (com y fixo) ou t=y (com x fixo).

Passo 3

Calculemos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}. Defino as funções (em x, com y tratado como constante)
u(x)=a x + b y,\qquad v(x)=c x + d y.
Derivando em relação a x (lembrando que y é constante) obtemos
u'(x)=\frac{d}{dx}(a x + b y)=a,
v'(x)=\frac{d}{dx}(c x + d y)=c.
Agora aplico a regra do quociente:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{a\,(c x + d y)-(a x + b y)\,c}{(c x + d y)^{2}}.

Passo 4

Simplificamos o numerador da expressão anterior passo a passo:
a\,(c x + d y)-(a x + b y)\,c =acx + ady - (acx + bcy)
=acx + ady - acx - bcy = (ad - bc)\,y.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{(ad-bc)\,y}{(c x + d y)^{2}}.

Passo 5

Agora calculemos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}. Defino as funções (em y, com x tratado como constante)
\tilde u(y)=a x + b y,\qquad \tilde v(y)=c x + d y.
Derivando em relação a y (com x constante) obtemos
\tilde u'(y)=\frac{d}{dy}(a x + b y)=b,
\tilde v'(y)=\frac{d}{dy}(c x + d y)=d.
Aplicando a regra do quociente:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\frac{\tilde u'(y)\,\tilde v(y)-\tilde u(y)\,\tilde v'(y)}{[\tilde v(y)]^{2}} =\frac{b\,(c x + d y)-(a x + b y)\,d}{(c x + d y)^{2}}.

Passo 6

Simplificamos o numerador do passo anterior:
b\,(c x + d y)-(a x + b y)\,d = bcx + bdy - (adx + bdy)
= bcx + bdy - adx - bdy = (bc - ad)\,x.
Logo
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{(bc-ad)\,x}{(c x + d y)^{2}} =-\frac{(ad-bc)\,x}{(c x + d y)^{2}}.

Passo 7

Comentário final curto (útil para a prova): as derivadas parciais ficam proporcionais a ad-bc. Note que o domínio de validade é onde c x + d y \neq 0. Se ad-bc=0 então ambos numeradores são zero e as derivadas parciais valem zero no domínio (o que corresponde ao caso em que (a,b) é proporcional a (c,d) e a função é constante no domínio).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{(ad-bc)\,y}{(c x + d y)^{2}}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{(bc-ad)\,x}{(c x + d y)^{2}} = -\frac{(ad-bc)\,x}{(c x + d y)^{2}}

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