Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem:
e
.
Informações relevantes fornecidas: são constantes (não dependem de
nem de
) e devemos trabalhar no domínio onde o denominador não se anula, ou seja onde
.
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
O que é uma derivada parcial? Vou explicar de forma simples e prática:
- A derivada parcial de
em relação a , escrita , é a taxa de variação de quando só mexemos em e mantemos fixo. Formalmente isso é o limite
- Analogamente,
é a taxa de variação quando só mexemos em e mantemos fixo.
Na prática, para funções racionais como a dada é mais rápido usar a regra do quociente considerando
constante ao derivar em relação a
(e vice‑versa). A regra do quociente para duas funções
e
de uma variável diz:
Aqui vamos aplicar essa fórmula pensando em
(com
fixo) ou
(com
fixo).
Passo 3
Calculemos
. Defino as funções (em
, com
tratado como constante)
Derivando em relação a
(lembrando que
é constante) obtemos
Agora aplico a regra do quociente:
Passo 4
Simplificamos o numerador da expressão anterior passo a passo:
Portanto
Passo 5
Agora calculemos
. Defino as funções (em
, com
tratado como constante)
Derivando em relação a
(com
constante) obtemos
Aplicando a regra do quociente:
Passo 6
Simplificamos o numerador do passo anterior:
Logo
Passo 7
Comentário final curto (útil para a prova): as derivadas parciais ficam proporcionais a
. Note que o domínio de validade é onde
. Se
então ambos numeradores são zero e as derivadas parciais valem zero no domínio (o que corresponde ao caso em que
é proporcional a
e a função é constante no domínio).