Com os resultados listados acima, estabeleça se a sequência \left(a_{n}\right) abaixo converge ou diverge, dizendo qual critério usou. Quando for possível calcule o limite da sequência. a_{n}=\frac{(-1)^{n}(\cos n)^{100}}{4^{n}}
Passo 1
O enunciado dá a sequência \left(a_{n}\right) definida por
a_{n}=\frac{(-1)^{n}(\cos n)^{100}}{4^{n}}.
O que ele pede: estabelecer se a sequência converge ou diverge e, quando possível, calcular o limite \lim_{n\to\infty}a_n. As informações relevantes fornecidas são exatamente os fatores no numerador (-1)^{n} e (\cos n)^{100} e o denominador 4^{n}.
Passo 2
Vamos observar propriedades úteis dos fatores:
\cos n
é um número real cujo valor está sempre entre -1 e 1. Como estamos elevando \cos n à potência 100 (um número par), isso garante que
0\le (\cos n)^{100}\le 1 \quad\text{para todo }n.
O fator (-1)^{n} só muda o sinal (é +1 para n par e -1 para n ímpar), então o módulo do numerador é controlado por (\cos n)^{100}. Em consequência,
Portanto temos a estimativa |a_n|\le 1/4^{n} para todo n.
Passo 4
Agora analisamos o comportamento da sequência \left(\dfrac{1}{4^{n}}\right). Trata-se de uma sequência geométrica com razão r=\dfrac{1}{4}, onde 0<r<1. Uma propriedade básica das progressões geométricas é:
\text{se }|r|<1\text{ então }\lim_{n\to\infty} r^{n}=0.ã
Aplicando isso com r=\dfrac{1}{4} obtemos
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{4^{n}}=0.
(Se quiser ver um argumento com \varepsilon: dado \varepsilon>0 escolha N tal que 4^{N}>\dfrac{1}{\varepsilon}; então para todo n\ge N temos \dfrac{1}{4^{n}}\le\dfrac{1}{4^{N}}<\varepsilon, logo a sequência tende a zero.)
Passo 5
Usamos agora o Teorema do Confronto (ou Squeeze): se |a_n|\le b_n para todo n e \lim_{n\to\infty} b_n=0, então \lim_{n\to\infty} a_n=0. Aqui temos b_n=\dfrac{1}{4^{n}} com \lim b_n=0 (passo anterior) e |a_n|\le b_n (passo 3). Portanto, pelo Teorema do Confronto,
\lim_{n\to\infty} a_{n}=0.
Isto mostra que a sequência converge e seu limite é 0.