Com os resultados listados acima, estabeleça se a sequência \left(a_{n}\right) abaixo converge ou diverge, dizendo qual critério usou. Quando for possível calcule o limite da sequência.
a_{n}=(0,99999999999)^{n}

Passo 1

O enunciado dá a sequência \left(a_{n}\right) definida por
a_{n}=(0,99999999999)^{n}.
As perguntas implícitas são: a sequência converge ou diverge? Se convergir, qual é o limite? Listei abaixo as informações relevantes que temos do enunciado:
\text{valor da base } r=0,99999999999=1-10^{-11}.
Temos então uma sequência do tipo a_n=r^n com r fixo, positivo e diferente de 1. Não se pede um método específico no enunciado, então vou usar propriedades básicas de sequências geométricas e o critério de sequência monótona limitada para mostrar convergência, e em seguida calcular o limite.

Passo 2

Primeiro vamos observar uma propriedade numérica simples de r. Como r=0,99999999999, escrevemos explicitamente
r=1-10^{-11}.
Logo 0<r<1. Esta desigualdade é importante porque sequências da forma r^n com |r|<1 costumam tender a zero. Vou agora provar isso passo a passo usando argumentos elementares.

Passo 3

Mostro que a sequência (a_n) é monótona decrescente a partir de n=1. Compare a_{n+1} e a_n:
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{r^{\,n+1}}{r^{\,n}}=r.
Como 0<r<1, temos r<1, então
a_{n+1}=r\cdot a_n < a_n\quad\text{para todo }n.
Portanto (a_n) é estritamente decrescente. Aqui usei apenas a propriedade de potências: multiplicar por r com 0<r<1 reduz o valor.

Passo 4

Agora mostro que a sequência é limitada inferiormente. Como r>0, temos a_n=r^n>0 para todo n. Assim a sequência é limitada inferiormente por 0. Resumindo:
0<a_n\le a_1\quad\text{para todo }n.
Portanto (a_n) é monótona decrescente e limitada inferiormente por 0.

Passo 5

Aplico o Teorema da Convergência Monótona (ou Teorema de Bolzano para sequências monotônicas): toda sequência monótona e limitada é convergente. Como já mostrei que (a_n) é decrescente e está limitada inferiormente por 0, concluímos que (a_n) converge. Este é o critério que estou usando: critério da sequência monótona limitada.

Passo 6

Agora calculo o limite. Seja
L=\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty} r^n.
Como a sequência converge, L é finito. Observe que passando de n para n+1 e tomando limites em ambos os lados,
\lim_{n\to\infty} a_{n+1}=\lim_{n\to\infty} r\cdot a_n = r\cdot \lim_{n\to\infty} a_n = rL.
Mas \lim_{n\to\infty} a_{n+1}=L (limite não depende do índice de deslocamento), então L=rL. Subtraindo rL dos dois lados,
L-rL=(1-r)L=0.
Como 1-r\neq 0 (de fato 1-r=10^{-11}>0), segue que L=0. Portanto
\lim_{n\to\infty} (0,99999999999)^{n}=0.

Passo 7

Para dar uma intuição alternativa (não necessária para a prova, mas útil): podemos escrever
r^n=e^{n\ln r}.
Como 0<r<1, temos \ln r<0. Logo n\ln r\to -\infty quando n\to\infty, e e^{n\ln r}\to 0. Isso confirma a mesma conclusão e explica por que a sequência tende a zero mesmo que r esteja muito próximo de 1 — a decaída é lenta, mas aconteceria no limite.

Resposta

Converge; \displaystyle \lim_{n\to\infty} (0,99999999999)^{n}=0.

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