Com os resultados listados acima, estabeleça se a sequência
abaixo converge ou diverge, dizendo qual critério usou. Quando for possível calcule o limite da sequência.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
definida por
As perguntas implícitas são: a sequência converge ou diverge? Se convergir, qual é o limite? Listei abaixo as informações relevantes que temos do enunciado:
Temos então uma sequência do tipo
com
fixo, positivo e diferente de
. Não se pede um método específico no enunciado, então vou usar propriedades básicas de sequências geométricas e o critério de sequência monótona limitada para mostrar convergência, e em seguida calcular o limite.
Passo 2
Primeiro vamos observar uma propriedade numérica simples de
. Como
, escrevemos explicitamente
Logo
. Esta desigualdade é importante porque sequências da forma
com
costumam tender a zero. Vou agora provar isso passo a passo usando argumentos elementares.
Passo 3
Mostro que a sequência
é monótona decrescente a partir de
. Compare
e
:
Como
, temos
, então
Portanto
é estritamente decrescente. Aqui usei apenas a propriedade de potências: multiplicar por
com
reduz o valor.
Passo 4
Agora mostro que a sequência é limitada inferiormente. Como
, temos
para todo
. Assim a sequência é limitada inferiormente por
. Resumindo:
Portanto
é monótona decrescente e limitada inferiormente por
.
Passo 5
Aplico o Teorema da Convergência Monótona (ou Teorema de Bolzano para sequências monotônicas): toda sequência monótona e limitada é convergente. Como já mostrei que
é decrescente e está limitada inferiormente por
, concluímos que
converge. Este é o critério que estou usando: critério da sequência monótona limitada.
Passo 6
Agora calculo o limite. Seja
Como a sequência converge,
é finito. Observe que passando de
para
e tomando limites em ambos os lados,
Mas
(limite não depende do índice de deslocamento), então
. Subtraindo
dos dois lados,
Como
(de fato
), segue que
. Portanto
Passo 7
Para dar uma intuição alternativa (não necessária para a prova, mas útil): podemos escrever
Como
, temos
. Logo
quando
, e
. Isso confirma a mesma conclusão e explica por que a sequência tende a zero mesmo que
esteja muito próximo de
— a decaída é lenta, mas aconteceria no limite.
Resposta
Converge;
.