Considere o problema de valor inicial (PVI)
y^{\prime \prime}+y=\cos (2 t), \quad y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=0 .
(a) ( 1,0 ponto) Encontre a soluçāo geral da EDO homogénea associada ao PVI.
(b) (2,0 pontos) Encontre a solução do PVI.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
y''+y=\cos(2t),\qquad y(0)=2,\qquad y'(0)=0.
As perguntas são:
  • (a) Encontrar a solução geral da EDO homogênea associada ao PVI.
  • (b) Encontrar a solução do PVI (ou seja, a solução particular que satisfaz as condições iniciais).
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação diferencial linear homogênea associada é \;y''+y=0.
  • O termo forçante (não-homogêneo) é \cos(2t).
  • Condições iniciais: \;y(0)=2 e \;y'(0)=0.

Passo 2

Resolver a EDO homogênea \;y''+y=0.
Método (característico): suponha uma solução da forma \;y(t)=e^{rt}. Substituindo na equação homogênea obtém-se a equação característica
r^{2}+1=0.
As raízes são \;r=\pm i. Quando as raízes são complexas conjugadas \pm i, a forma real geral das soluções é combinação linear de \cos e \sin. Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(t)=C_{1}\cos t + C_{2}\sin t,
onde \;C_{1} e \;C_{2} são constantes arbitrárias.
Breve justificativa didática: as raízes r=\pm i indicam oscilações com frequência natural 1, e \cos t,\sin t formam uma base de soluções reais. A linearidade da EDO permite superpor soluções.

Passo 3

Escolher um método para obter uma solução particular de \;y''+y=\cos(2t).
Vamos usar o método dos coeficientes a determinar (método dos termos indicadores), apropriado porque a equação tem coeficientes constantes e o forçamento é trigonométrico. Para forçamento \cos(2t) tenta-se uma solução particular da forma
y_{p}(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t),
com A,B constantes a determinar.
Explicação didática do porquê: para o lado direito sendo combinação de \cos(kt) e \sin(kt), uma boa aposta é uma combinação da mesma frequência. Só precisamos multiplicar por t se houver ressonância (isto é, se \cos(2t) for solução da homogênea). Aqui a frequência natural é 1 e o forçamento tem frequência 2, portanto NÃO há ressonância e a aposta acima é válida.

Passo 4

Calcular as derivadas de y_{p} necessárias para substituir na equação.
Primeira derivada:
y_{p}'(t) = -2A\sin(2t) + 2B\cos(2t).
Segunda derivada:
y_{p}''(t) = -4A\cos(2t) -4B\sin(2t).
Mostrei passo a passo: derivada de \cos(2t) é -2\sin(2t) multiplicada por A; derivada de \sin(2t) é 2\cos(2t) multiplicada por B; repetir o processo dá a segunda derivada acima.

Passo 5

Substituir y_{p}, y_{p}'' em \;y''+y=\cos(2t) e igualar coeficientes.
Substituição:
y_{p}''+y_{p}=(-4A\cos(2t)-4B\sin(2t)) + (A\cos(2t)+B\sin(2t)).
Agrupando termos:
y_{p}''+y_{p}=(-3A)\cos(2t)+(-3B)\sin(2t).
Queremos isso igual a \cos(2t), que é 1\cdot\cos(2t)+0\cdot\sin(2t). Igualando coeficientes obtemos o sistema linear para A e B:
-3A=1,\qquad -3B=0.
Daí
A=-\tfrac{1}{3},\qquad B=0.

Passo 6

Escrever a solução geral da equação não-homogênea (superposição).
Solução geral:
y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t)=C_{1}\cos t + C_{2}\sin t -\tfrac{1}{3}\cos(2t).
Explicação: por linearidade, soma-se a solução geral da homogênea com qualquer solução particular para obter a solução geral da não-homogênea.

Passo 7

Aplicar as condições iniciais para determinar \;C_{1} e \;C_{2}.
Primeiro calcule y(0). Usando a expressão de y(t):
y(0)=C_{1}\cos 0 + C_{2}\sin 0 -\tfrac{1}{3}\cos(0) = C_{1}\cdot 1 + C_{2}\cdot 0 -\tfrac{1}{3}\cdot 1 = C_{1}-\tfrac{1}{3}.
A condição inicial pede y(0)=2, então
C_{1}-\tfrac{1}{3}=2 \quad\Longrightarrow\quad C_{1}=2+\tfrac{1}{3}=\tfrac{7}{3}.
Agora calcule y'(t) para aplicar y'(0)=0. A derivada de y(t) é
y'(t) = -C_{1}\sin t + C_{2}\cos t + \tfrac{2}{3}\sin(2t).
Aqui a derivada do termo -\tfrac{1}{3}\cos(2t) é -\tfrac{1}{3}\cdot(-2)\sin(2t)=\tfrac{2}{3}\sin(2t).
Avalie em t=0:
y'(0) = -C_{1}\sin 0 + C_{2}\cos 0 + \tfrac{2}{3}\sin 0 = -C_{1}\cdot 0 + C_{2}\cdot 1 + \tfrac{2}{3}\cdot 0 = C_{2}.
A condição inicial pede y'(0)=0, logo C_{2}=0.

Passo 8

Resumo das constantes encontradas:
C_{1}=\tfrac{7}{3},\qquad C_{2}=0.
Com estas constantes, a solução do PVI é a solução geral da não-homogênea com C_{1},C_{2} substituídos. (A expressão final aparece só na seção de resposta, abaixo.)

Resposta

(a) y_{h}(t)=C_{1}\cos t + C_{2}\sin t
(b) y(t)=\tfrac{7}{3}\cos t - \tfrac{1}{3}\cos(2t)

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