Considere o problema de valor inicial (PVI)
(a) ( 1,0 ponto) Encontre a soluçāo geral da EDO homogénea associada ao PVI.
(b) (2,0 pontos) Encontre a solução do PVI.
(b) (2,0 pontos) Encontre a solução do PVI.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
As perguntas são:
- (a) Encontrar a solução geral da EDO homogênea associada ao PVI.
- (b) Encontrar a solução do PVI (ou seja, a solução particular que satisfaz as condições iniciais).
Informações relevantes fornecidas:
- A equação diferencial linear homogênea associada é
. - O termo forçante (não-homogêneo) é
. - Condições iniciais:
e .
Passo 2
Resolver a EDO homogênea
.
Método (característico): suponha uma solução da forma
. Substituindo na equação homogênea obtém-se a equação característica
As raízes são
. Quando as raízes são complexas conjugadas
, a forma real geral das soluções é combinação linear de
e
. Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Breve justificativa didática: as raízes
indicam oscilações com frequência natural
, e
formam uma base de soluções reais. A linearidade da EDO permite superpor soluções.
Passo 3
Escolher um método para obter uma solução particular de
.
Vamos usar o método dos coeficientes a determinar (método dos termos indicadores), apropriado porque a equação tem coeficientes constantes e o forçamento é trigonométrico. Para forçamento
tenta-se uma solução particular da forma
com
constantes a determinar.
Explicação didática do porquê: para o lado direito sendo combinação de
e
, uma boa aposta é uma combinação da mesma frequência. Só precisamos multiplicar por
se houver ressonância (isto é, se
for solução da homogênea). Aqui a frequência natural é
e o forçamento tem frequência
, portanto NÃO há ressonância e a aposta acima é válida.
Passo 4
Calcular as derivadas de
necessárias para substituir na equação.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Mostrei passo a passo: derivada de
é
multiplicada por
; derivada de
é
multiplicada por
; repetir o processo dá a segunda derivada acima.
Passo 5
Substituir
,
em
e igualar coeficientes.
Substituição:
Agrupando termos:
Queremos isso igual a
, que é
. Igualando coeficientes obtemos o sistema linear para
e
:
Daí
Passo 6
Escrever a solução geral da equação não-homogênea (superposição).
Solução geral:
Explicação: por linearidade, soma-se a solução geral da homogênea com qualquer solução particular para obter a solução geral da não-homogênea.
Passo 7
Aplicar as condições iniciais para determinar
e
.
Primeiro calcule
. Usando a expressão de
:
A condição inicial pede
, então
Agora calcule
para aplicar
. A derivada de
é
Aqui a derivada do termo
é
.
Avalie em
:
A condição inicial pede
, logo
.
Passo 8
Resumo das constantes encontradas:
Com estas constantes, a solução do PVI é a solução geral da não-homogênea com
substituídos. (A expressão final aparece só na seção de resposta, abaixo.)
Resposta
(a)
(b)