Desenhe áreas sob o gráfico da função
, que possuam os seguintes valores:
Passo 1
O enunciado pede para desenhar (isto é, identificar e desenhar) regiões sob o gráfico da função
, com
, cuja área valha exatamente
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
com domínio . - O objetivo é obter regiões sob essa curva (limitadas por duas retas verticais
e , com ) cuja área seja .
Passo 2
Entender o que significa “área sob o gráfico” nesse contexto.
Se tomarmos duas abscissas e
com
, a área
da região limitada pela curva
, pelo eixo
e pelas retas verticais
e
é dada pela integral definida
Se tomarmos duas abscissas
Explicando a integral de forma simples: a integral definida soma “fatinhos” de área sob a curva entre
e
; a função
é positiva em
, então a integral realmente representa a área.
Sabendo cálculo básico de primitiva: uma primitiva de é
. Para
podemos escrever a primitiva como
. Portanto, pela regra do cálculo de integrais definidas:
Sabendo cálculo básico de primitiva: uma primitiva de
Aqui
e
são as abscissas das retas verticais que limitam a região;
é a borda esquerda e
a borda direita.
Passo 3
Agora impomos que a área seja
. Logo devemos resolver
Usando propriedades do logaritmo (diferença de logaritmos é o logaritmo do quociente):
Para isolar
, aplicamos a função exponencial (inversa do logaritmo natural) aos dois lados:
Comentário didático:
é apenas um número fixo (base
elevada a
). Isso mostra que a área entre
e
depende só da razão
; para obter área
essa razão precisa ser exatamente
.
Passo 4
Interpretação prática e instruções de desenho. Conclusões úteis:
- Existe uma família infinita de regiões com área
: para qualquer pode-se escolher . A região a desenhar é a área sob entre e . - Os pontos da curva que limitam a região são
e . - Como exemplos concretos (úteis para desenhar):
- Escolhendo
: . Então a região é entre e . - Escolhendo
: . Região entre e . - Escolhendo
: . Região entre e .
- Escolhendo
Como desenhar (passo a passo no papel):
- Desenhe os eixos
e . - Trace o gráfico de
para (hipérbole decrescente). - Marque a posição de
e de no eixo . - Desenhe as retas verticais
e . - Sombreie a região limitada acima pela curva
, abaixo pelo eixo , e lateralmente por e . Essa área sombreada terá valor .
Dica amiga: escolha
simples (por exemplo
ou
) para desenhar; daí compute
multiplicando por
(use a aproximação
) e marque no eixo.
Resposta
Qualquer região sob
entre
e
com
tem área
.
Exemplos: ,
,
(os valores numéricos aproximados são
,
,
).
Exemplos: