Desenhe áreas sob o gráfico da função \frac{1}{x}, x>0, que possuam os seguintes valores:
\sqrt{2}

Passo 1

O enunciado pede para desenhar (isto é, identificar e desenhar) regiões sob o gráfico da função \dfrac{1}{x}, com x>0, cuja área valha exatamente \sqrt{2}.
Informações dadas:
  • A função é \dfrac{1}{x} com domínio x>0.
  • O objetivo é obter regiões sob essa curva (limitadas por duas retas verticais x=a e x=b, com 0<a<b) cuja área seja \sqrt{2}.

Passo 2

Entender o que significa “área sob o gráfico” nesse contexto.
Se tomarmos duas abscissas a e b com 0<a<b, a área A da região limitada pela curva y=\dfrac{1}{x}, pelo eixo x e pelas retas verticais x=a e x=b é dada pela integral definida
A=\int_{a}^{b}\frac{1}{x}\,dx.
Explicando a integral de forma simples: a integral definida soma “fatinhos” de área sob a curva entre x=a e x=b; a função 1/x é positiva em x>0, então a integral realmente representa a área.
Sabendo cálculo básico de primitiva: uma primitiva de 1/x é \ln|x|. Para x>0 podemos escrever a primitiva como \ln x. Portanto, pela regra do cálculo de integrais definidas:
\int_{a}^{b}\frac{1}{x}\,dx = \bigl[\ln x\bigr]_{a}^{b} = \ln b - \ln a.
Aqui a e b são as abscissas das retas verticais que limitam a região; a é a borda esquerda e b a borda direita.

Passo 3

Agora impomos que a área seja \sqrt{2}. Logo devemos resolver
\ln b - \ln a = \sqrt{2}.
Usando propriedades do logaritmo (diferença de logaritmos é o logaritmo do quociente):
\ln\!\left(\frac{b}{a}\right)=\sqrt{2}.
Para isolar b, aplicamos a função exponencial (inversa do logaritmo natural) aos dois lados:
\frac{b}{a}=e^{\sqrt{2}} \quad\Rightarrow\quad b = a\,e^{\sqrt{2}}.
Comentário didático: e^{\sqrt{2}} é apenas um número fixo (base e elevada a \sqrt{2}). Isso mostra que a área entre x=a e x=b depende só da razão b/a; para obter área \sqrt{2} essa razão precisa ser exatamente e^{\sqrt{2}}.

Passo 4

Interpretação prática e instruções de desenho. Conclusões úteis:
  • Existe uma família infinita de regiões com área \sqrt{2}: para qualquer a>0 pode-se escolher b=a\,e^{\sqrt{2}}. A região a desenhar é a área sob y=\dfrac{1}{x} entre x=a e x=b.
  • Os pontos da curva que limitam a região são (a,\tfrac{1}{a}) e (b,\tfrac{1}{b}).
  • Como exemplos concretos (úteis para desenhar):
    • Escolhendo a=1: b=e^{\sqrt{2}}\approx 4,113. Então a região é entre x=1 e x\approx 4,113.
    • Escolhendo a=\tfrac{1}{2}: b=\tfrac{1}{2}e^{\sqrt{2}}\approx 2,0565. Região entre x=0,5 e x\approx 2,0565.
    • Escolhendo a=2: b=2e^{\sqrt{2}}\approx 8,226. Região entre x=2 e x\approx 8,226.
Como desenhar (passo a passo no papel):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Trace o gráfico de y=\dfrac{1}{x} para x>0 (hipérbole decrescente).
  3. Marque a posição de x=a e de x=b=a\,e^{\sqrt{2}} no eixo x.
  4. Desenhe as retas verticais x=a e x=b.
  5. Sombreie a região limitada acima pela curva y=\dfrac{1}{x}, abaixo pelo eixo x, e lateralmente por x=a e x=b. Essa área sombreada terá valor \sqrt{2}.
Dica amiga: escolha a simples (por exemplo 1 ou 0,5) para desenhar; daí compute b multiplicando por e^{\sqrt{2}} (use a aproximação e^{\sqrt{2}}\approx 4,113) e marque no eixo.

Resposta

Qualquer região sob y=\dfrac{1}{x} entre x=a e x=b com
b = a\,e^{\sqrt{2}},\quad a>0,
tem área \sqrt{2}.
Exemplos: [1,e^{\sqrt{2}}], [0,5,\;0,5e^{\sqrt{2}}], [2,\;2e^{\sqrt{2}}] (os valores numéricos aproximados são e^{\sqrt{2}}\approx 4,113, 0,5e^{\sqrt{2}}\approx 2,0565, 2e^{\sqrt{2}}\approx 8,226).

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