Considere o problema de valor inicial
(1-x^2) y^prime prime-x y^prime+4 y=0, y(0)=a0, y^prime(0)=a1
Determine a solução do problema de valor inicial dado.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de segunda ordem (1 - x^2)y'' - x y' + 4y = 0com condições iniciais y(0)=a0 e y'(0)=a1. Isso é a equação de Chebyshev do 1º tipo com n^2=4. Vamos usar a mudança de variável x=costheta para transformar em um oscilador simples.

Passo 2

Fazendo x=costheta temos theta=arccos x e
y' = dydx = dy/dthetadx/dtheta = -1sintheta,dydtheta,
y'' = ddxl(-1sinthetadydthetar) (mas o importante é que a EDO vira)é
d^2ydtheta^2 + 4y = 0

Passo 3

A equação em theta é a de um oscilador harmônico de frequência 2, cuja solução geral é
y(theta) = Acos(2theta) + Bsin(2theta)

Passo 4

Voltando a x, como theta=arccos x,
$$y(x)=A\cos\bigl(2\arccos x\bigr)+B\sin\bigl(2\arccos x\bigr).
$$

Passo 5

Usamos as fórmulas trigonométricas cos(2arccos x)=2x^2-1 e sin(2arccos x)=2xraiz1-x^2 e aplicamos as condições iniciais:
  • Em x=0, y(0)=Acos(pi)+Bsin(pi)=-A=a0 implica A=-a0.
  • Para y'(0)=a1, calculamos primeiro dy/dthetal|theta=pi/2 e depois multiplicamos por dtheta/dx=-1/sintheta em theta=pi/2. Isso dá y'(0)=2B, logo B=a1/2.

Passo 6

Substituindo A e B obtemos
y(x)=-a0cos(2arccos x)+a12sin(2arccos x)
Podemos ainda usar as expressões em termos de x e raiz1-x^2 para simplificar.

Resposta

A solução é
y(x)= -a0l(2x^2-1r)+a1,xraiz1-x^2=a0(1-2x^2)+a1xraiz1-x^2

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