Um sistema massa-mola é descrito pela equação
No instante inicial tem-se
e
. Determine a posição do corpo que está preso à mola como função do tempo e a maior distância da posição de equilíbrio que o corpo atinge, para tempos positivos.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a posição do corpo preso a uma mola que satisfaz a equação diferencial de segunda ordem
com condições iniciais
e
. O conteúdo é solução de equações lineares homogêneas com coeficientes constantes e também otimização de
para achar a maior distância ao equilíbrio.
Passo 2
Primeiro usamos o método do polinômio característico. Assumimos
, o que leva ao polinômio
Resolvendo, obtemos as raízes
e
, logo a solução geral é
Passo 3
Agora aplicamos as condições iniciais. De
segue
. Da derivada
e de
vem
. Resolvendo o sistema:
Passo 4
Substituindo
e
na solução geral obtemos a posição como função do tempo:
$$u(t)=3e^{-t} - 2e^{-2t}.
$$
Passo 5
Para encontrar a maior distância ao equilíbrio analisamos
. Como
é positivo para todo
, basta achar o máximo de
. Calculamos a derivada:
$$-3e^{-t} +4e^{-2t}=0\implies e^t=\frac{4}{3}\implies t=\ln\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr).
$$
Passo 6
Finalmente, avaliamos
nesse instante:
$$u\bigl(\ln(4/3)\bigr)=3,e^{-\ln(4/3)} -2,e^{-2\ln(4/3)}=3\frac{3}{4} -2\bigl(\frac{3}{4}\bigr)^2=\frac{9}{4}-\frac{9}{8}=\frac{9}{8}.
$$Esse é o valor máximo de
para
.
Resposta
A posição é
e a maior distância à posição de equilíbrio para tempos positivos é
.