Um sistema massa-mola é descrito pela equação
u^prime prime+3 u^prime+2 u=0
No instante inicial tem-se u(0)=1 e u^prime(0)=1. Determine a posição do corpo que está preso à mola como função do tempo e a maior distância da posição de equilíbrio que o corpo atinge, para tempos positivos.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a posição do corpo preso a uma mola que satisfaz a equação diferencial de segunda ordem u'' + 3u' + 2u = 0 com condições iniciais u(0)=1 e u'(0)=1. O conteúdo é solução de equações lineares homogêneas com coeficientes constantes e também otimização de |u(t)| para achar a maior distância ao equilíbrio.

Passo 2

Primeiro usamos o método do polinômio característico. Assumimos u(t)=e^rt, o que leva ao polinômio r^2 + 3r + 2 = 0Resolvendo, obtemos as raízes r1=-1 e r2=-2, logo a solução geral é u(t)=C1 e^-t + C2 e^-2t

Passo 3

Agora aplicamos as condições iniciais. De u(0)=1 segue C1 + C2 = 1. Da derivada u'(t)=-C1 e^-t -2C2 e^-2t e de u'(0)=1 vem -C1 -2C2 =1. Resolvendo o sistema:
C1 + C2 = 1, -C1 -2C2 = 1,achamos C1=3 e C2=-2.

Passo 4

Substituindo C1 e C2 na solução geral obtemos a posição como função do tempo:
$$u(t)=3e^{-t} - 2e^{-2t}.
$$

Passo 5

Para encontrar a maior distância ao equilíbrio analisamos |u(t)|. Como u(t) é positivo para todo t>=0, basta achar o máximo de u(t). Calculamos a derivada:
u'(t)=-3e^-t +4e^-2t,e igualamos a zero:
$$-3e^{-t} +4e^{-2t}=0\implies e^t=\frac{4}{3}\implies t=\ln\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr).
$$

Passo 6

Finalmente, avaliamos u(t) nesse instante:
$$u\bigl(\ln(4/3)\bigr)=3,e^{-\ln(4/3)} -2,e^{-2\ln(4/3)}=3\frac{3}{4} -2\bigl(\frac{3}{4}\bigr)^2=\frac{9}{4}-\frac{9}{8}=\frac{9}{8}.
$$Esse é o valor máximo de ul(ln(4/3)r)=3,e^-ln(4/3) -2,e^-2ln(4/3)=334 -2l(34r)^2=94-98=98 para u(t).

Resposta

A posição é u(t)=3e^-t-2e^-2t e a maior distância à posição de equilíbrio para tempos positivos é 9/8.

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