O mesmo sistema é submetido a uma força constante, e passa a ser descrito pela equação
u^prime prime+3 u^prime+2 u=1
Nas mesmas condições iniciais (u(0)=1 e u^prime(0)=1 ) determine a posição do corpo que está preso à mola como função do tempo e a maior distância da posição de equilíbrio que o corpo atinge, para tempos positivos. O corpo consegue se distanciar mais da posição de equilíbrio do que no caso do item anterior, para tempos positivos?

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de segunda ordem com coeficientes constantes e forçamento constante, que é
u'' + 3u' + 2u = 1
com as condições iniciais u(0)=1 e u'(0)=1. O conteúdo é resolução de EDO linear inhomogênea e depois caracterização do máximo desvio de sua posição de equilíbrio para t>0.

Passo 2

Começamos encontrando a solução geral da parte homogênea, cuja equação característica é
r^2 + 3r + 2 = 0,
cuja raiz são r = -1 e r = -2. Logo a solução homogênea é
uh(t) = C1 e^-t + C2 e^-2t
Para a solução particular de forçamento constante igual a 1, usamos up = A (constante). Substituindo, obtemos
0 + 0 + 2A = 1 ,Rightarrow, A = tfrac12

Passo 3

A solução geral completa é
u(t) = C1 e^-t + C2 e^-2t + tfrac12

Passo 4

Agora aplicamos as condições iniciais. De u(0)=1 vem
C1 + C2 + tfrac12 = 1 Longrightarrow C1 + C2 = tfrac12
Da derivada
u'(t) = -C1 e^-t - 2C2 e^-2t,
usando u'(0)=1 temos
-C1 - 2C2 = 1 Longrightarrow C1 + 2C2 = -1
Resolvendo o sistema C1 + C2 = 1/2 e C1 + 2C2 = -1, obtemos
C2 = -tfrac32, C1 = 2

Passo 5

Substituindo em u(t), a solução buscada é
u(t) = 2e^-t - tfrac32 e^-2t + tfrac12

Passo 6

A posição de equilíbrio é ueq=tfrac12. Definindo o desvio x(t)=u(t)-ueq=2e^-t-tfrac32e^-2t, achamos o máximo para t>0 resolvendo
x'(t) = -2e^-t +3e^-2t = 0 Longrightarrow e^t = tfrac32 Rightarrow t = lntfrac32
Nesse instante,
xl(lntfrac32r) = 2cdottfrac23 - tfrac32cdottfrac49 = tfrac43 - tfrac23 = tfrac23
Portanto a maior distância da posição de equilíbrio para t>0 é tfrac23.

Passo 7

Comparando com o caso anterior (sem forçamento), cuja máxima distância era maior, vemos que agora o corpo atinge apenas 2/3, logo não se distancia mais do que antes.

Resposta

u(t) = 2e^{-t} - \tfrac32 e^{-2t} + \tfrac12; maior distância da posição de equilíbrio = \tfrac23; e não, o corpo não se distancia mais do que no caso anterior.

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