O mesmo sistema é submetido a uma força constante, e passa a ser descrito pela equação
Nas mesmas condições iniciais
e
) determine a posição do corpo que está preso à mola como função do tempo e a maior distância da posição de equilíbrio que o corpo atinge, para tempos positivos. O corpo consegue se distanciar mais da posição de equilíbrio do que no caso do item anterior, para tempos positivos?
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de segunda ordem com coeficientes constantes e forçamento constante, que é
com as condições iniciais
Passo 2
Começamos encontrando a solução geral da parte homogênea, cuja equação característica é
cuja raiz são
Para a solução particular de forçamento constante igual a 1, usamos
(constante). Substituindo, obtemos
Passo 3
A solução geral completa é
Passo 4
Agora aplicamos as condições iniciais. De
vem
Da derivada
usando
temos
Resolvendo o sistema
Passo 5
Substituindo em
, a solução buscada é
Passo 6
A posição de equilíbrio é
. Definindo o desvio
, achamos o máximo para
resolvendo
Nesse instante,
Portanto a maior distância da posição de equilíbrio para
é
.
Passo 7
Comparando com o caso anterior (sem forçamento), cuja máxima distância era maior, vemos que agora o corpo atinge apenas
, logo não se distancia mais do que antes.
Resposta
u(t) = 2e^{-t} - \tfrac32 e^{-2t} + \tfrac12; maior distância da posição de equilíbrio = \tfrac23; e não, o corpo não se distancia mais do que no caso anterior.