Justificando sua resposta, afirme sobre a convergência ou divergência das séries seguintes (informe sempre o nome do teste e/ou da sequência utilizada como referência).
sumn=1^infty(raiznn+1n^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre a convergência ou divergência de uma série infinita. O conteúdo principal aqui é séries infinitas e vamos precisar usar testes de convergência, especificamente o Teste da Série p. A série que vamos analisar é:
sumn=1^infty(raiznn+1n^2)

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma para entender melhor. A expressão sumn=1^infty (1n^1/2 + 1n^2) pode ser reescrita como , então a série fica:
Isso significa que estamos somando duas séries diferentes: e .

Passo 3

Agora, vamos analisar cada uma dessas séries separadamente usando o Teste da Série p. Esse teste diz que a série converge se e diverge se .
  • Primeira série:
    Aqui, , que é menor que 1. Segundo o teste, essa série diverge.
  • Segunda série:
    Aqui, , que é maior que 1. Segundo o teste, essa série converge.

Passo 4

Agora que sabemos que uma das séries diverge e a outra converge, precisamos ver o que isso significa para a série original. Quando somamos uma série divergente com uma convergente, o resultado geral é que a série total diverge.

Resposta

A série diverge pelo Teste da Série p, já que uma das componentes da soma, , é divergente.

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