Justificando sua resposta, afirme sobre a convergência ou divergência das séries seguintes (informe sempre o nome do teste e/ou da sequência utilizada como referência).
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre a convergência ou divergência de uma série infinita. O conteúdo principal aqui é séries infinitas e vamos precisar usar testes de convergência, especificamente o Teste da Série p. A série que vamos analisar é:
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma para entender melhor. A expressão
pode ser reescrita como
, então a série fica:
Isso significa que estamos somando duas séries diferentes:
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada uma dessas séries separadamente usando o Teste da Série p. Esse teste diz que a série
converge se
e diverge se
.
-
Primeira série:Aqui,
, que é menor que 1. Segundo o teste, essa série diverge. -
Segunda série:Aqui,
, que é maior que 1. Segundo o teste, essa série converge.
Passo 4
Agora que sabemos que uma das séries diverge e a outra converge, precisamos ver o que isso significa para a série original. Quando somamos uma série divergente com uma convergente, o resultado geral é que a série total diverge.
Resposta
A série
diverge pelo Teste da Série p, já que uma das componentes da soma,
, é divergente.