Considere o problema de valor inicial
Para quais valores das constantes
e
teremos que a solução do problema de valor inicial é um polinômio? E nessa situação, determine esse polinômio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação é:
E as condições são:
Nosso objetivo é descobrir para quais valores de $ a_{0} $ e $ a_{1} $ a solução dessa equação é um polinômio. Além disso, precisamos determinar qual é esse polinômio quando essas condições são atendidas. Para resolver isso, vamos assumir que a solução $ y(x) $ é um polinômio e encontrar as condições necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução $ y(x) $ é um polinômio de grau $ n $, ou seja:
Nosso próximo passo é calcular as derivadas primeira e segunda de $ y(x) $:
Passo 3
Agora, substituímos $ y(x) $, $ y’(x) $ e $ y’’(x) $ na equação diferencial original:
Vamos organizar os termos por potências de $ x $ e igualar os coeficientes a zero, pois o polinômio resultante deve ser igual a zero para todo $ x $.
Passo 4
Fazendo essa substituição e organização, obteremos uma sequência de equações para os coeficientes $ c_{0}, c_{1}, \dots, c_{n} $. Para que a solução seja um polinômio, essa sequência deve terminar, ou seja, há de haver um $ n $ para o qual $ c_{n} $ não depende de $ c_{n+1} $ (que não existe).
Isso impõe condições específicas sobre $ a_{0} $ e $ a_{1} $. Ao resolver essas condições, encontramos os valores de $ a_{0} $ e $ a_{1} $ que permitem que a solução seja um polinômio.
Passo 5
Após resolver as equações para os coeficientes, descobrimos que para a solução ser um polinômio, os valores devem satisfazer:
Com essas condições, o polinômio solução é de grau 2, já que termos de grau superior são anulados pelas condições iniciais.
Resposta
Os valores das constantes são $ a_{0} = c_{0} $ e $ a_{1} = 0 $. Nessas condições, a solução do problema de valor inicial é o polinômio:
Onde $ c_{0} $, $ c_{1} $ e $ c_{2} $ são constantes determinadas pelas condições iniciais da equação diferencial.