Considere o problema de valor inicial
(1-x^2) y^prime prime-x y^prime+4 y=0, y(0)=a0, y^prime(0)=a1
Para quais valores das constantes a0 e a1 teremos que a solução do problema de valor inicial é um polinômio? E nessa situação, determine esse polinômio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação é:
(1 - x^2) y'' - x y' + 4 y = 0
E as condições são:
y(0) = a0, y'(0) = a1
Nosso objetivo é descobrir para quais valores de $ a_{0} $ e $ a_{1} $ a solução dessa equação é um polinômio. Além disso, precisamos determinar qual é esse polinômio quando essas condições são atendidas. Para resolver isso, vamos assumir que a solução $ y(x) $ é um polinômio e encontrar as condições necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução $ y(x) $ é um polinômio de grau $ n $, ou seja:
y(x)
Nosso próximo passo é calcular as derivadas primeira e segunda de $ y(x) $:
n
y(x) = c0 + c1x + c2x^2 + dots + cnx^n

Passo 3

Agora, substituímos $ y(x) $, $ y’(x) $ e $ y’’(x) $ na equação diferencial original:
y(x)
Vamos organizar os termos por potências de $ x $ e igualar os coeficientes a zero, pois o polinômio resultante deve ser igual a zero para todo $ x $.

Passo 4

Fazendo essa substituição e organização, obteremos uma sequência de equações para os coeficientes $ c_{0}, c_{1}, \dots, c_{n} $. Para que a solução seja um polinômio, essa sequência deve terminar, ou seja, há de haver um $ n $ para o qual $ c_{n} $ não depende de $ c_{n+1} $ (que não existe).
Isso impõe condições específicas sobre $ a_{0} $ e $ a_{1} $. Ao resolver essas condições, encontramos os valores de $ a_{0} $ e $ a_{1} $ que permitem que a solução seja um polinômio.

Passo 5

Após resolver as equações para os coeficientes, descobrimos que para a solução ser um polinômio, os valores devem satisfazer:
a1 = 0 e a0 = c0
Com essas condições, o polinômio solução é de grau 2, já que termos de grau superior são anulados pelas condições iniciais.

Resposta

Os valores das constantes são $ a_{0} = c_{0} $ e $ a_{1} = 0 $. Nessas condições, a solução do problema de valor inicial é o polinômio:
a0 = c0
Onde $ c_{0} $, $ c_{1} $ e $ c_{2} $ são constantes determinadas pelas condições iniciais da equação diferencial.

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